《北师大版必修一数学：4.2《实际问题的函数建模问题》导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版必修一数学：4.2《实际问题的函数建模问题》导学案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.24.2 实际问题的函数建模实际问题的函数建模问题导学问题导学 一、二次函数模型的应用 活动与探究 1 某租赁公司出租同一型号的设备 40 套，当每套月租金为 270 元时，恰好全部租出在 此基础上，每套月租金每增加 10 元，就少租出 1 套设备，而未租出的设备每月需支付各种 费用每套 20 元设每套设备实际月租金为x元(x270 元)，月收益为y元(总收益设备 租金收入未租出设备费用) (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？ 迁移与应用 某旅游公司的最大接待量为 1 000 人，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于 1 000，留出适当的空
2、闲量(如：当接待量为 800 人时，则空闲量为 200 人)，空闲量与最大 接待量的比值叫作空闲率已知该公司 4 月份接待游客的月增加量y(人)和实际接待量 x(人)与空闲率的乘积成正比(设比例系数k0) (1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当k时，求 4 月份游客日增加量的最大值1 10在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析式后， 通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前 提下求最值 二、分段函数模型 活动与探究 2 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升 血液中的含药量
3、y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式yf(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时，药物对治疗疾病有效求 服药一次治疗疾病的有效时间 迁移与应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需要增加投入 100 元，已知总收益满足函数： R(x)Error!其中x是仪器的月产量 (1)将利润表示为月产量的函数f(x) (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本 利润)分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一 区间进行分类讨论
4、，从而写出函数的解析式需注意分段函数的最值，是各区间上解析式 所得最值的最大者或最小者 三、指数函数模型的应用 活动与探究 3 有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相 同若该元素最初的质量为 50 g，经过一年后质量变为 40 g. (1)设x(x0)年后，这种放射性元素的质量为y g，写出y关于x的表达式 (2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到 0.1 年，参考 数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1) 迁移与应用 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20%. (1)写出水中杂质含量y与过
5、滤的次数x之间的函数关系式； (2)要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：lg 20.301 0)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模 型来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律 四、对数函数模型的应用 活动与探究 4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 2 000 m，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y log3，单位是 m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数1 2x 100 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
6、(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由 迁移与应用 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是 m/s，其中Q表示燕子的耗氧量Q 10 (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式 中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其 实际意义 当堂检测当堂检测 1一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函
7、数模 型是( )A一次函数模型 B二次函数模型 C指数函数模型 D对数函数模型 2某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函 数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )Ay2t By2t2 Cyt3 Dylog2t 3在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02 则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数( ) Ayabx BybxCyax2b Dyb x 4据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%，如果按此 速度，设 2000 年北冰洋冬季冰雪覆
8、盖面积为m，则从 2000 年起，经过x年后，北冰洋冬 季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )Ay500.95x mBy(1500.05x )m Cy0.9550xm Dy(10.0550x)m5长为 3，宽为 2 的矩形，当长增加x，宽减少 时，面积达到最大，此时x的值为x 2 _提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的 精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 1f(a)f(b)0 中点 小区间 2反号 中点 精度 任意一个数 预习交流预习交流 1 提示：利用二分法求得的零点也可能是准确值，例如f(x)x21 在 0,2上的零
9、点；利用二分法求方程在a，b内的近似解时，如果方程的根有多个，那么一 次只能求得其中的一个 预习交流预习交流 2 提示：(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束 (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数 却相差较大 (3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零 点，必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0 这样条件的函数才能用二分法 求得零点的近似值 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 (1)B (2)1.437 5 解析：解析：(1)从图像上可以看出 B 中的函数值在
10、零点 两侧都小于 0，所以不能用二分法求函数的零点 (2)由于f(1.25)f(1.5)0，所以近似解位于区间1.25,1.5，又f(1.375)f(1.5)0，所以近似解位于区间1.375,1.5，因此下一次计算应取m1.437 5.1.3751.5 2 迁移与应用迁移与应用 (1)B (2)A 解析：解析：(2)由于f(2)(2)3530，f(1) 13560，f(2)f(1)0，所以初始区间可取2,1 活动与探究活动与探究 2 思路分析：思路分析：先确定f(x)lg x2x1 的零点所在的大致区间，再用 二分法求解 解：解：令f(x)lg x2x1，函数f(x)的定义域为(0，) 因为函
11、数f(x)在(0，)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点 又因为f(1)0.50，f(0.1)0.9330，所以方程在0.1,1内有唯一实数解 使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第 1 次0.10.933 03310.5 第 2 次0.10.933 0330.550.057 343 第 3 次0.3250.286 4150.550.057 343 第 4 次0.437 50.097 4350.550.057 343 第 5 次0.493 750.016 6700.550.057 343 至此，得到区间0.493 75,0.55，其长度 0.550.49
12、3 750.056 250.1，由于要 求的精度为 0.1，则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解，不妨取 0.5 作为方程的 近似解 迁移与应用迁移与应用 解：解：用二分法逐次计算，列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第 1 次111.50.875第 2 次1.250.296 8751.50.875 第 3 次1.250.296 8751.3750.224 609 第 4 次1.312 50.051 5141.3750.224 609 由于区间1.312 5,1.375的长度 1.3751.312 50.062 50.1，所以当精度为 0.1 时，该区间内的每一个数都是函数的
13、近似零点，不妨取 1.3 作为函数f(x)在1,1.5内的 近似零点 【当堂检测】 1C 2B3取区间1,2的中点c .12 23 2 42,2.5 解析：解析：令f(x)x32x5，f(2)10，f(2.5)2.53100，所 以有根区间是2,2.5 52.53 解析：解析：由于区间2.531 25,2.539 062 5的长度为 2.539 062 52.531 250.007 812 50.01，所以精度为 0.01 时，方程的一个正的近似解是 2.53. 2 实际问题的函数建模 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 1函数 2性质 整体特征 函数表达式 实验 数据 拟合 3(1)方法
14、 知识 预习交流预习交流 提示：(1)直线模型：一次函数模型ykxb(k0)，其图像增长特点是 直线式上升(x的系数k0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型 ykx(k0)(2)反比例函数模型：y (k0)型，其增长特点是y随x的增大而减小k x (3)指数函数模型：yabxc(b0，且b1，a0)，其增长特点是随着自变量的 增大，函数值增大的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸 (4)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0)，其增长特点是随着自变量的增 大，函数值增大越来越慢(底数a1，m0) (5)幂函数模型：yaxnb(a0)，其中最常见的是二次函
15、数模型： yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a0) 在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点， 分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析：思路分析：(1)利用总收益设备租金收入未租出设备费用列出函数 关系式； (2)转化为求相应二次函数的最大值解：解：(1)设每套设备实际月租金为x元(x270 元)，则未租出的设备为套，未x270 10租出的设备费用为元；租出的设备为套，月租金总额为(x270 10 20)(40x270 10)元(40x270 10)x所以yx20(40x270 10)x270 100.1x265x540. (2)由(1)得y0.1x265x5400.1(x325)211 102.5.所以当x325 时， y取最大值为 11 102.5， 即当每套设备实际月租金为 325 元时，月收益达到最大值 11 102.5 元迁移与应用迁移与应用 解：解：(1)由题意知，
