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1、等腰三角形等腰三角形( (复习教案）复习教案）介休市义安二中 武秋梅教学目标教学目标知识与技能目标知识与技能目标建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。直等。过程方法过程方法通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。提高学生用
2、规定数学语言表达论证过程的能力。情感态度价值观情感态度价值观进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。独立思考的习惯。教学重点：教学重点： 等腰三角形定理的应用。等腰三角形定理的应用。教学难点：教学难点： 证明的思路和方法。证明的思路和方法。教学流程教学流程本章知识结构二。典型例题二。典型例题【例 1】如图所示，ABC 中，AB=AC，D 在 BC 上，且BD=AD，DC=AC，求B 的度数。 ACB D 思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角
3、形的内角和定理。解：AB=CD（已知）B=C（等边对等角）同理：B=BAD，CAD=CDA设B 为X0 ，则C=X0 ，BAD=X0ADC=2X0，CAD=2X0在ADC 中，C+CAD+ADC=1800X+2X+2X=180X=36答：B 的度数为 360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。练习 1：如图所示，在ABC 中，D 是 AC 上一点，并且AB=AD，DB=DC， 若C=290，则A=_ABDC123练习 2：如图在ABC 中，AB=AC,点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD,求ABC 各角的度数？ABCD【例 2】如图所示，在ABC 中，AB=AC，O 是ABC
4、内一点，且OB=OC。 求证：AOBC思路点拨：要证 AOBC，即证 AO 是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证 AO 是顶角的平分线即可。证明：延长 AO 交 BC 于 DAB=AC（已知）在ABO 和ACO 中 OB=OC（已知）AO=AO（公共边）ABOACO（SSS）BAO=CAO即BAD=CAD（全等三角形的对应角相等）ADBC，即 AOBC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。AB DCO练习：如图所示，点 D、E 在ABC 的边 BC 上，AB=AC，AD=AE求证：BD=CE【例 3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距
5、离之和等于一腰上的高。思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知” 、 “求证” ；（3）写出证明过程。如图，在ABC 中，AB=AC，P 是 BC 边上任一点，过点 P 作 PM AB于 M，PN AC 于 N，作 BEAC于 E。求证：PM+PN=BE 证明：作 PQ BE 于 QBE AC，PNAC，BE PNPQ BE，ACBE ACBDEBC PMENQAPQ NE。 ，QE=PN。AB=ACABC=CPQ ACQPB=C ABC=QPB又PMB=BQP=900 BP=PB，PMBBQP（AAS）PM=BQPM+PN=BQ+QE
6、=BE注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。【例 4】已知如图所示，在ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，过 D作 DEBC 与 E，并与 CA 的延长线相交于 F，求证：AD=AF 思路点拨：要证 AD=AF，需证1=F，而1=2，2 落在BDE 中，F 落在FEC 中,因为 DE BC ，ABCDE12F所以它们都为直角三角形。F 与2 的余角分别为B 与C,由已知可得B=C，因而结论成立。证明：在ABC 中 AB=ACB=C （等边对等角） DEBC DEB=DEC=900 （垂直
7、定义） 2+B=900 ，F+C=900（直角三角形两锐角互余） 2=F（等角的余角相等） 1=2 1=F（等量代换） AF=AD（等角对等边） 注：要注意“两头凑”的分析方法。本题还可以“作 AGBC 与G” ，则 AGFE 来证。练习 1：如图 AC=AD，C=D，求证 BC=BD（试不用三角形全等来证）练习 2:如图，已知ABC 是等边三角形，点 D.E 分别在 AC、BC 上，且 DEAB,DFDE,交 BC 的延长线与点 F.求证：CD=CFC ABDCD【例 5】如图所示，ABC，ACB 的角平分线交于 F，过 F 作DEBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E。求证：BD+EC=
8、DE思路点拨：由 DEBC，得3=2 1=2 1=3 DB=DF，同理 CE=EF。从而问题得证。证明：DE BC（已知）3=2 （两直线平行，内错角相等）又BF 平分ABC（已知）1=2（角平分线定义）1=3 DB=DF（等角对等边）同理 EF=CE BD+EC=DF+EF，即 BD+EC=DE。注：在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。AB CEFADBEFC123练习：如图，BF 平分ABC，CF 平分ACG 且 DFBG.问 DB、EC 和DE 之间存在着怎样的关系呢？请证之。【例 6】 图中，已知 BCAC,DEAC,点 D 是 AB 的中点，A=300,DE=1.8,求 A
9、B 的长。思路点拨 ：又A=300可得在 RtBAC，RtDAE 中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又点 D 为 AB 的中点可得ABCGDEF123 4BADECBD=AD =1/2AB于是可得 DE=1/4AB解：A=300，DEAC，BCAC， （已知）DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 。又AD=1/2AB, DE=1/2AD=1/4AB,即 AB=4DE=4*1.8=7.2注：在直角三角形中已知 300的角就意味着边的 2 倍关系了，要注意充分利用这一条件进行计算。练习 1：在 RtABC 中，C=900
10、,若B=2A,则边 AB 与 BC 之间有什么关系？练习 2：等腰三角形的底角等于 15，腰长为 2a,求腰上的高。【例 7】 如图，在ABC 中 BDAC 于 D,BAC=2DBC.求证：ABC=ACB.思路点拨：由BAC=2DBC 联想到作BAC 的平分线，想办法证BAC 的平分线垂直 BC，即可得证。ABCDEO证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E,交 BD 于 O,则BAE=CAE=DBC.BDAC(已知）ODA=90（垂直定义）AOD=BOE(对顶角相等） ，OEB=1800-BOE-DBC=1800-AOD-CAE=ODA,即OEB=900ABC+BAE=900,ACB
11、+CAE=900(直角三角形两锐角互余） ，ABC=ACB(等角的余角相等） 。注：要善于观察，积累辅助线的作法，本题还可用加倍小角来证明：即在ABD 内作DBF=DBC 交 AC 于 F,练习：如图 在ABC 中1=2，ABC=2C求证：AB+BD=AC。【例 8】如图 ，在ABC 中，AD 为中线，BAD=DAC 求证：AB=AC。思路点拨：从现有条件分析，在ABD 与ACD 中，ABCD12ABCDE121=2，AD=AD 是公共边，D 是 BC 的中点，即 BD=DC 具有“两边一对角”对应相等，无法断定全等，因 AD 是中线，就想到可把中线AD 延长一倍，构造全等三角形来解此题。证明
12、：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连结 BE。在ACD 和EBD 中 AD=DE，BD=DC，ADC=EDBACDEBD（SAS）BE=AC，BED=CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）BAD=DAC（已知）BED=BAD（等量代换）AB=BE（等角对等边）AB=AC（等量代换）注：在三角形中有中线时常延长加倍中线，构造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行线或作底的平形线，从而构造新的等腰三角形。练习：如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上且BD=CE，连接 DE 交 BC 于 F。 求证：DF=EF。 ABCDFE三、小结：、小结：1、本节课首先回顾了等腰三角形的性质和判定定理，并利用其定理进行了有关计算和证明。2、在等腰三角形中常用的辅助线有：（1） 、作顶角的平分线、底边上的高线、中线。 （2） 、在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
