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1、中考复习之函数的综合运用中考复习之函数的综合运用知识考点： 会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。 精典例题： 【例 1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B 两点，与轴交于 C 点，与轴交于 D 点，OB，tanDOB。yx1031（1）求反比例函数的解析式； （2）设点 A 的横坐标为，ABO 的面积为，求与之间的函数关系式；并写mSSm 出自变量的取值范围。m（3）当OCD 的面积等于时，试判断过 A、B 两点的抛物线在轴上截得的线段长2Sx能否等于 3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解析：（1
2、）xy3（2）A（，） ，直线mm3AB：，D（，0）mmxmy313m)31 (321 mmSSSADOBDO易得：，（）30 mmmS29230 m（3）由有，解得，（舍去）2SSOCDmm mm 29 21 2)3(2211m32mA（1，3） ，过 A、B 两点的抛物线的解析式为，设抛axaaxy32)21 (2物线与轴两交点的横坐标为、，则，x1x2xaaxx2121aaxx3221若有321 xx9324212 aa aa整理得，由于120 方程无实根01472 aa 故过 A、B 两点的抛物线在轴上截得的线段长不能等于 3。x 评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数
3、以及三角形面积等知识， 并注意挖掘问题中的隐含条件。 【例 2】某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对 这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与之间的函数关系式xyyx （不必写出自变量的取值范围） ；x （3）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？ （4）商店要想月销售利润最大，销
4、售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？ 解析：（1）（元）675010)5055(500)4055(yx例 1 图 DCBAO（2）10)50(500)40(xxy400001400102xx（3）当时，（舍去）8000y801x602x（4），销售单价定为 70 元时，月销售利润最大为9000)70(102xy 9000 元。 评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实 际问题中建立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。 探索与创新： 【问题】如图，A（8，0） ，B（2，0） ，以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 与 轴的负半轴交于点 C。来
5、源:学,科,网 Z,X,X,Ky （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求顶点 M 的坐标和直线 MC 的解析 式； （3）判定（2）中的直线 MC 与P 的位置关系，并说明理由； （4）过原点 O 作直线 BC 的平行线 OG，与（2）中的直线 MC 交于点 G， 连结 AG，求出 G 点的坐标，并证明 AGMC。解析：（1），；OBOAOC2423 412xxy（2）M（3，） ，直线 MC：425443xy（3）直线 MC 交轴于 N（，0） ，易证，x316222PNCNPC直线 MC 与P 相切；（4）直线 BC：，直线 OG：，由解
6、得：42 xyxy2 4432xyxyG（，） ，BCOG，易证NBCNGA，有516532GNON CNBNNACN CNBN，又CNOANG，NOCNGA，AGNCON900，故NACN GNONAGMC。评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结 合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。 跟踪训练： 一、选择题：1、若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（ 1222mmmxxym ） A、或 B、1m2m01m C、 D、21m0m2、抛物 线（0）与轴交于 P，与轴交于 A（，0） ，cbxaxy2ayx1xB（，0）两点，且，若，则
7、的值是（ ）2x210xxOPOBOA31 21bA、 B、 C、 D、32 29 23293、某商人将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现在他采用提 高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 2 元，其销量就要减少 10yx问题图 GMCP BAO件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）A、8 元或 10 元 B、12 元 C、8 元 D、10 元 二、填空题：1、函数的图像与轴有且只有一个交点，那么的值是 ，132xaxaxyxa 与轴的交点坐标为 。来源:学科网 ZXXKx2、已知 M、N 两点关于轴对称，且点 M 在双曲线上
8、，点 N 在直线上，yxy213 xy设点 M（，） ，则抛物线的顶点坐标为 。abxbaabxy)(23、将抛物线绕顶点旋转 1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线5632xxy 交于点（2，）的新抛物线，新抛物线的解析式为 。2xym4、已知抛物线与轴交于 A、B 两点，顶点为 C，连结 AC、BC，点4822xxyxA1、A2、A3、把 AC等分，过各分点作轴的平行线，分别交 BC 于1nAnxB1、B2、B3、，线段 A1B1、A2B2、A3B3、的和为 。 （用1nB11nnBA含的式子表示）n 三、解答题： 1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们
9、称 这段距离为“刹车距离” 。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速 40 千米小 时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现 场测得甲车的刹车距离为 12 米，乙车的刹车距离超过 10 米，但小于 12 米。查有关资料知： 甲种车的刹车距离（米）与车速（千米小时）之间有下列关系，甲Sx；乙种车的刹车距离（米）与车速（千米小时）的关系如图所xxS1 . 001. 02甲乙Sx示。请你就两车的速度方面分析相碰的原因。第 1 题图 SxO6015ly第 2 题图 xPO BA)32( ，y第 3 题图 xED3-2-1COBA2、如图，已知直线 与轴交于点
10、 P（1，0） ，与轴所夹的锐角为，县 tanlxx，直线 与抛物线交于点 A（，2）和点 B（3，）32lcbxaxy2)0( amn（1）求 A、B 两点的坐标，并用含的代数式表示和；abc（2）设关于的方程的两实数根为、，且，x023362aaxx1x2x021 xx，求此时抛物线的解析式；221xx（3）若点 Q 是由（2）所得的抛物线上一点，且在轴上方，当满足AOQ900时，x 求点 Q 的坐标及AOQ 外接圆的面积。 3、如图，抛物线经过 A、B、C 三点，顶点为 D，且与轴的另一个交 点为 E。1Cx（1）求抛物线的解析式；1C （2）求四边形 ABDE 的面积； （3）AOB
11、与BDA 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由。 （4）设抛物线的对称轴与轴交于点 F，另一条抛物线经过点 E（抛物线与1Cx2C1C抛物线不重合） ，且顶点为 M（，） ，对称轴与轴交于点 G，且以 M、G、E 为顶2Cabx点的三角形与以 D、E、F 为顶点的三角形全等，求、的值（只须写出结果，不必写出ab 解答过程） 。4、如图，直线与轴、轴交于点 A、B，M 经过原点 O 及 A、B333xyxy两点。 （1）求以 OA、OB 两线段长为根的一元二次方程； （2）C 是M 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若CODCBO，写出经过 O、C、A 三点的二次函数解
12、析式； （3）若延长 BC 到 E，使 DE2，连结 AE，试判断直线 EA 与M 的位置关系，并说 明理由。y第 4 题图 xEDCMBAOy第 5 题图 xFPEDCBAO5、如图，P 为轴正半轴上一点，半圆 P 交轴于 A、B 两点，交轴于 C 点，弦 AExxy分别交 OC、CB 于点 D、F，已知。 CEAC （1）求证：ADCD；（2）若 DF，tanECB，求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；来源:学科网45 43（3）设 M 为轴负半轴上一点，OMAE，是否存在过点 M 的直线，使该直线与x21（2）中所得的抛物线的两个交点到轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若y
13、 不存在，请说明理由。参考答案 一、选择题：BCD 二、填空题：1、1 或 9， （1，0）或（，0） ；2、 （3，） ；3、；4、31 294632xxy) 1(2n 三、解答题：来源:学&科&网 Z&X&X&K 1、甲车速 30 千米小时未超过限速；乙车速为超过限速。4840乙V2、 （1）A（2，2） ，直线 ：，B（3，）l32 32xy34，326)32(2axaaxy)0( a 32632acab（2）来源:学_科_网35 21 612xxy（3）A（2，2） ，AOYYOQ450，直线 OQ：，Q（1，1） ，AQxy，AOQ 外接圆面积（平方单位）10253、 （1）；（2）9；（3） （5，4） 、 （5，4） 、 （7，2） 、 （7，2） 、322xxy （1，4） 、 （1，2） 、 （1，2）共 7 个点。4、 （1）；（2）C（，） ，033)33(2zz2323xxy332 9322（3）直线 EA 与M 相切。5、 （1）连结 AC；（2）；（3）不存在223 212xxy
