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1、 北京市石景山区2010 年 高 三 统 一 测 试数学试题（理科）考生须知： 1本试卷为闭卷考试，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2本试卷各题答案均答在本题规定的位置。第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1复数等于（ 2 1 i ）ABCD2i2i1 i1 i2已知命题，那么命题为（ :,2pxR x p）AB,2xR x ,2xR x CD2,xRx2,xRx3已知平面向量，的值为（ )2 , 1 (ambamb则且,/), 2(） A1B-1 C4D-4 4一个几何体
2、的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2）为（ ） A80B60 C40D205经过点 P（2，-3）作圆的弦 AB，使点 P 为弦 AB 的中点，则弦 AB25) 1(22yx所在直线方程为（ ）AB05 yx05 yxCD05 yx05 yx6已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A求数列的前 10 项和1n)(*NnB求数列的前 10 项和21n)(*NnC求数列的前 11 项和1n)(*NnD求数列的前 11 项和21n)(*Nn7已知函数的导函数的图象如图所示，)(xf)(xf 那么函数的图象最有可能的是（ ）)(xf8已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足
3、xxfx 2log)31()(cba,。若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：0)()()(cfbfafd0)(xf;中有可能成立的个数为（ ad ; bd ; cd cd ） A1B2C3D4第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9二项式的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 42()xx。 （用数字作答）10已知曲线 C 的参数方程为（为参数） ，则曲线 C 的普通方程是 ,sin2,cosyx；点 A 在曲线 C 上，点在平面区域上，则|AM|的最小值是 ( , )M x y220 20 210xy x
4、y y 。 11如图，已知 PE 是圆 O 的切线，直线 PB 交圆 O 于A、B 两点，PA=4，AB=12，则 PE 的4 3AE 长为 ，的大小为 。ABE 12某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出 60 名学 生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分 为 100 分） ，把其中不低于 50 分的成绩分成五段后，画出部分频率分100,9070,60,60,50L布直方图（如图） ，那么历史成绩在的学80,70生人数为 。13函数的最小正22cossin2sincosyxxxx周期为 ，此函数的值域为 。14在数列中，若，则称为“等方差数na22* 1,(2,nnaap nnN)p
5、为常数na列” ，下列是对“等方差数列”的判断；若是等方差数列，则是等差数列；na2 na是等方差数列；) 1(n若是等方差数列，则也是等方差数列；na),(*为常数kNkakn若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。na其中正确命题序号为 。 （将所有正确的命题序号填在横线上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15 （本题满分 13 分）在中，角 A、B、C 所对的边分虽为，且ABCcba,31,2cos.4acC（1）求的值；)sin(BA（2）求的值；Asin（3）求的值。CACB16 （本题满分 13 分）如图，两个圆形
6、转盘 A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的。某“幸运转11 24和盘积分活动”规定，当指针指到 A，B 转盘阴影部分时，分别赢得积分 1000 分和 2000 分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此 时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。（1）记先转 A 转盘最终所得积分为随机变量 X，则 X 的取值分别是多少？（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由。17 （本题满分 14 分）如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，E 是棱 CC1上动点，F 是 AB 中90ACB点，12,4.ACBCAA（1）求证：；1CFAB
7、B 平面（2）当 E 是棱 CC1中点时，求证：CF/平面 AEB1；（3）在棱 CC1上是否存在点 E，使得二面角AEB1B 的大小是 45，若存在，求 CE 的长，若不存在，请说明理由。18 （本题满分 13 分）在数列中，na* 113,21(2,)nnaaannnN 且（1）求的值；32,aa（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；nanna（3）求数列。nnSna项和的前19 （本题满分 14 分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离)0( 12222 baby ax 36为，直线交椭圆于不同的两点 A、B。3mkxyl:（1）求椭圆的方程；（2）求的值（O 点为坐标
8、原点） ；,0,mkOA OBkuu u r uuu r且求（3）若坐标原点 O 到直线 的距离为，求面积的最大值。l23AOB20 （本题满分 13 分）已知函数( )2ln .pf xpxxx（1）若，求曲线处的切线；2p ( )(1,(1)f xf在点（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；( )f xp（3）设函数上至少存在一点，使得成立，求2( ),1, eg xex若在0x00()()f xg x实数的取值范围。p参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。15CBDAA 68BAC 二、
9、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 924，811022(2)1xy1180，30 1218 13,2,214 注：一题两空的第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 （本题满分 13 分）解：（1）中，ABC在QCBACCBAsin)sin()sin(又，43cosCQ，20C.47cos1sin2CC3 分.47)sin(BA（2）由正弦定得得.sinsinCc Aa8 分.8142471sinsin cCaA（2）由余弦定理得Cabbaccos
10、2222，43121)2(222bb则02322 bb解得（舍） 11 分212bb或13 分.23 4321cos|CCACBCACB16 （本题满分 13 分） 解：（1）X 的取值分别是：0 分，1000 分，3000 分 3 分（2）由已知得，转动 A 盘得到积分的概率为，1 2转动 B 盘得到积分的概率为 5 分1 4 设先转 A 盘所得的积分为 X 分，先转 B 盘所得的积分为 Y 分，则有6 分11(0)1,22P X ， 7 分113(1000)(1)248P X 8 分111(3000).248P X 9 分1316000010003000.2888EX同理： 10 分3(0
11、)4P Y 11 分1(2000),8P Y 12 分1(3000).8P Y 3115000020003000.4888EY故先转 A 盘时，赢得积分平均水平较高。 13 分 17 （本题满分 14 分）（1）证明：三棱柱 ABCA1B1C1是直棱柱，Q平面 ABC 1BB又面 ABC，CF Q ，1 分CFBB，AC=BC=2，F 是 AB 中点90ACB2 分CFAB又 3 分1,BBABBQ平面 ABB1。 4 分CF（2）证明：取 AB1的中点 G，联结 EG，FG分别是棱 AB、AB1中点，,F GQ111/ /,2FGBB FGBB又111/ /,2ECBB ECBB/ /,FG
12、EC FGEC四边形 FGEC 是平行四边形，6 分7 分/ /.CFDG 平面 AEB1，平面 AEB1 8 分CF QEG 平面 AEB1。 9 分/ /CF（3）解：以 C 为坐标原点，射线 CA，CB，CC1为轴正半轴，, ,x y z建立如图所示的空间直角坐标系.Cxyz则 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B1（0，2，4） 10 分设，平面 AEB1的法向量(0,0,)Em( , , )nx y zr则1( 2,2,4),( 2,0,)ABAEm uuu u ruuu r且1,ABnAEnuuu u ru u r uuu rr于是12240,200ABnxyzAE nxym
13、z uuu u r u u ruuu r r所以,2 4 2mzxmzzy取 12 分2,( ,4,2)znm mr则三棱柱 ABCA1B1C1是直棱柱，Q平面 ABC，1BB又平面 ABCACQ1BBAC 90ACBQ BCAC .1BBCBBQ平面 ECBB1 AC是平面 EBB1的法向量，CAuu u r(2,0,0)CA uu u r二面角 AEB1B 的大小是 45，则 13 分 22222cos452| |2(4)2CA nmCAnmm uu u r ruu u rr解得5.2m 在棱 CC1上存在点 E，使得二面角 AEB1B 的大小是 45。此时 14 分5.2CE 18 （本
14、题满分 13 分）（1）解：* 113,21(2,)nnaaannnN Q且2 分21416.aa 4 分32611.aa （2）证明：11111(21)11.(1)11nnnnnnanannan ananan Q是首项为，nan数列411a公比为-1 的等比数列。 7 分，14 ( )nnan 即14 ( 1),n nan 的通项公式为na1*4 ( 1)()n nan nN （3）解：1*4 ( 1)()n nan nN Q所以当是奇数时，n10 分121114 ( 1)(8).2nn k nk kkSaknn 当是偶数时，n12 分121114 ( 1)().2nn k nk kkSaknn 综上， 13 分221(8)
