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1、初三数学复习初三数学复习 数与式数与式一. 本周教学内容：总复习数与式知识要点（一）实数的有关概念（1）实数的分类实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数无理数无限不循环小数 当然还可以分为：正实数、零、负实数。有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数（2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一、一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。（3）绝对值绝对值的代数意义：| |()()()aa aaa a0000绝对值的几何意义：一个数的
2、绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。（4）相反数、倒数实数 的相反数记为 ，非零实数 的倒数记为，零没有倒数。aaa1 a若 a、b 两个数为互为相反数，则 a+b=0。若 m、n 两个数互为倒数，则 mn=1。（5）三种非负数：| |()aaa a，都表示非负数。20“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。（二）实数的运算实数的六种运算及整数指数幂的运算是初中学习数学的基本能力，也是后续学习的重要基础。准确的运算有赖于运算法则、运算
3、顺序和运算律的熟练掌握。（三）和代数式有关的概念及代数式的运算。（1）代数式的分类代数式有理式整式单项式多项式分式无理式 （2）各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、根式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式。（3）代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不为零分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负，由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。（4）代数式的运算：整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。（四）代数式的恒等变形添括号、去括
4、号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具。待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。（五）代数式的化简求值含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。【典型例题典型例题】例 1. 在，中，无理数的个数为20313080101 74.&.()A. 1B. 2C. 3D. 4分析：分析：应当知道，只有无限不循环的小数才是无理
5、数，有限小数 0.80108，无限循环小数和分数都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如0311 74.& 24，所以不是无理数，而是有理数，故本题应选正确。( )B例 2. 已知下列 5 个命题（1）零是最小的实数（2）数轴上所有的点都表示实数（3）两个无理数的和仍然是无理数( )41 271 3的立方根是（5）任何实数都有两个互为相反数的平方根其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4分析：分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义（2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点（3） “任何数”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命
6、题是假命题。因此可以得出 5 个命题中只有（2）是真命题，故选 A。例 3. 已知 、 、 是实数，且满足，求的值。xyzxyzzxyz()|42102解：解：010|2|0)4(2zzyx，又()|xyzz42102()|xyzz4020102即xyzz402010，xyz421当，时，xyzxyz4214216注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出 x、y、z 的值，从而使问题得解。例 4. 计算：( )()()1 32004221 161 21102 解：解：原式 3141 421 21212( )()() 241 421 2122() 212124归纳：( )( )111
7、注意负指数的意义：或aaaaPPP P其中 a0，P 是正整数，在本题中，( )1 31 1 331( )()2012004202004210任何非零实数的 次方等于 ，在本题中， ，故例 5. xpxqxxpxqx 1120011133时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ）解：解：当时，代数式的值为：xpxqx113pqpq()()111120013故当时，的值为：xpxqx 113pqpq()()() 11113 ()pq12 ()200121999例 6. 计算xx xxxx xxx xxxyy2222222 4423 4299 22 解：解：原式 ()() ()()() ()()
8、()() ()()xx xxx xxxx xy x12 2231 223 23 22 ()() ()()() ()()() ()()xx xxx xxxx xy x12 222 2313 23 22 x xy3归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。例 7. 试用，表示和2解法（一）：解法（一）：22()()()1 221 22()1 2()()1 21 2()()解法（二）：解法（二）：设212kk()()()()kkkk1212比较等式两边的各项系数可得：kk kkk k1212122 01 1 2()()设
9、mm12()()()()mmmm1212比较等式两边的各项系数可得：mm mm12120 1 mm121 2 1 2 1 21 2()()归纳：解法 1 是利用拆项、添加括号的方法进行代数式的恒等变形，解法 2 是利用待定系数法进行代数式的恒等变形。例 8. 已知， 52求的值 解法：解法：（1）， 52， 0000 0 ()2() 2() 5 225 2 2解法（解法（2 2）：）：，00原式 ()11 25 25 2 2例 9. 已知，求：的值x xx xxx 3 21 3213 245 22()解：解：化简原式：有x xxx 3 245 22() x xxxx xxx x3 245 22
10、3 245 24 22 ()() x xx x3 229 22() x xx xx3 222 33()()() 1 23()x把看作一个整体，求出的值即可代入上式求值，1 31 3xx由得：x x 3 21 321x x 2 3321()x xx 31 311 33211 332x ()原式 1 231 21 3()xx 1 23232 2 ()一、选择题：1. 下列各组数中，相等的是_A. 和 1B. 和1()13()12C. 和1D. ()12 ()|11和2. 设 a，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_A. 若 a+b=0，则|a|=|b|B. 若|a|+|b|=0，则 a=b=0
11、C. 若 a2+b2=0，则 a=b=0D. 若|a+b|=0，则 a=b=03. 一天的时间共 86400 秒，用科学记数法表示应为_A. B. 864104.秒864103. 秒C. D. 864102. 秒864105.秒4. 如果 2（x+3）的值与 3（1x）的值互为相反数，那么 x 等于_A. 9B. 2C. 3D. 45. 已知， （其中 x0，m、n 为正整数） ，则的值等于_xaxbmn，xmn32A. B. C. D. 32abab33a b32a b326. 若 a0，代简的结果正确的是_| | aa2A. 0B. 2aC. 2aD. 2a 或2a7. 化简的结果为：()
12、3201A. B. 2C. D. 1 213 28. 如果表示 a、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于|()abab2_0 b a A. 2aB. 2bC. 2aD. 2b9. 已知的值等于_| | |xyxyxy320，且 ，则A. 5 或5B. 1 或1C. 5 或 1D. 5 或110. 数轴上表示的点到原点的距离是_1 2A. B. C. 2D. 21 21 211. 已知二次三项式分解因式为，则 b、c 的值为_22xbxc231()()xxA. B. bc 31，bc 62，C. D. bc 64，bc 46，12. 已知 a+b=3，ab=1，则的值是_a
13、b44A. 7B. 47C. 49D. 8113. 将分解因式，结果正确的是_aabacbc2A. B. ()()ab ac()()ab acC. D. ()()ab ac()()ab ac14. 已知 xy0，则化简后为_x y2A. B. C. D. xyxyxyxy二、填空题：1. 若实数 m，n 满足则 m=_，n=_()mn1302，2. 将 207670 保留三个有效数字，其近似值是_3. x 平方的 3 倍与5 的差，用代数表示为_4. 如果是一个完全平方式，则 m=_ama295. 如果分式无意义，则 x=_x x 3 26. 如果分式的值为 0，则 x=_xx x278 1 7. 计算：_x xx111()8. 若代数式的值等于零，则 x=_；x x 2 2若代数式的值等于零，则 x=_()()xx219. 已知，则分式的值为_113xy232 2xxyy xxyy 10. 已知_aaaa1312 2，则三、解答题：1. 计算：x xx xx x2
