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1、1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示第第 1 课时课时 集合的含义集合的含义学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.知识点一 集合的概念1.元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母 A，B，C，表示.2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.思考 (1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
2、(2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？答 (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准.(2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义是：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清.因此，若一组对象没有明确的判定标准，即元素不确定，则不能构成集合.知识点二 元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 AaAa 属于集合 A不属于如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 AaAa 不属于集合 A思考 设集合 A 表示“110 以内的所有素数” ，3,4 这两个元素与集合
3、 A 有什么关系？如何用数学语言表示？答 3 是集合 A 中的元素，即 3 属于集合 A，记作 3A；4 不是集合 A 中的元素，即 4 不属于集合 A，记作 4A.知识点三 常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 NZQR题型一 对集合概念的理解例 1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过 20 的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)的近似值的全体.3解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即“0x20”与“x20 或 x
4、0” ，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，3所以不能构成集合.反思与感悟 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪训练 1 有下列各组对象：接近于 0 的数的全体；比较小的正整数的全体；平面直角坐标系上到点 O 的距离
5、等于 1 的点的全体；直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 A解析 不能构成集合， “接近”的概念模糊，无明确标准.不能构成集合， “比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准.均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.题型二 元素与集合的关系例 2 下列所给关系正确的个数是( )R；Q；0N*；|5|N*.2A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 是实数，所以 R 正确； 是无理数，所以Q 正确； 0 不是正整数，所22以 0N*错误； |5|5 为正整数，所以|5|N*错误.故选 B.反思与感悟 1.熟记常见的数集符号
6、是解题的关键.解题时应正确区分各个符号所包含的范围，特别是弄清正整数集(N*)与自然数集(N)的区别.2.元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系.跟踪训练 2 给出下列关系： R；Q；|5|N；0N；Q.其中正确的122个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 是实数，正确.， 是无理数，、都不正确.|5|5 是自然数，0 是自122然数，、不正确，故答案为 A.题型三 集合中元素的特性及应用例 3 已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1，若3B，试求实数 a 的值.解 3B，3a3 或32a1.若3a3，则 a0.此时集合 B 含有两个元素3，1，符合题意；若32a
7、1，则 a1.此时集合 B 含有两个元素4，3，符合题意.综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或1.反思与感悟 1.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.2.由于集合 B 含有两个元素，3B，故本题以3 是否等于 a3 为标准，进行分类.3.本题在解方程求得 a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分.跟踪训练 3 已知集合 A 是由 0，m，m23m2 三个元素组成的集合，且 2A，则实数m 的值为( )A.3 B.2C.0 或 3 D.0 或 2 或 3答案 A解析 由题意得 m2，或 m23m22，得 m0，或 m2，或 m
8、3.当 m0 时，不合题意，舍去；当 m2 时，m23m20，不合题意，舍去；当 m3 时，m23m22，符合题意.忽略集合中元素的互异性出错例 4 含有三个元素的集合a，1，也可表示为集合a2，ab,0，求 a，b 的值.ba错解 a，1a2，ab,0，baError!解得Error!或Error!正解 a，1a2，ab,0，baError!解得Error!或Error!由集合中元素的互异性，得 a1，a1，b0.易错警示 错误原因纠错心得错解忽略了集合中元素的互异性，当 a1 时，在一个集合中出现了两个相同的元素.含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据
9、集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论.跟踪训练 4 由 a2,2a,4 构成一个集合 A，且 A 中含有 3 个元素，则实数 a 的值可以是( )A.1 B.2 C.6 D.2答案 C解析 由题设知 a2,2a,4 互不相等，即Error!解得 a2 且 a1 且 a2.所以当实数 a 的值是 6 时，满足题意.故选 C.1.下列能构成集合的是( )A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼答案 C解析 A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合.2.下列三个命题：集合 N 中最小的数是 1；aN，则 aN；aN，bN，则 ab 的最小值是
10、 2.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 A解析 根据自然数的特点，显然不正确.中若 a ，则aN 且 aN，显然不正确.323.下列选项正确的是( )A.0N* B.RC.1Q D.0Z答案 D4.已知集合 A 含有两个元素 a3 和 2a1，若 aA，则实数 a 的值是( )A.3 B.0 或 1C.1 D.1答案 C解析 由于 aA，则 aa3 或 a2a1，若 aa3，则有30，不成立；若 a2a1，则 a1，此时集合 A 中的两个元素是2,1，符合题意.5.用符号“”或“”填空.(1)0_N*，_Z,0_N，32_Q， _Q；343(2)若 a23，则 a_
11、R，若 a21，则 a_R.答案 (1) (2) 解析 (1)只要熟记常用数集的记法所对应的含义就很容易判断.(2)平方等于 3 的数是，3当然是实数，而平方等于1 的实数是不存在的.1.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.集合中元素的三个特征(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的.若 A 是一个集合，a，b 是集合 A 的任意两个元素，则一
12、定有 ab.(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关.如由元素 a，b，c与由元素 b，a，c 组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.一、选择题1.下列各选项中的对象不能构成集合的是( )A.小于 5 的自然数B.著名的艺术家C.曲线 yx2上的点D.不等式 2x17 的整数解答案 B解析 选项 B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合.2.集合 A 中只含有元素 a，则下列各式一定正确的是( )A.0A B.aAC.aA D.aA答案 C解析 由题意知 A 中只有一个元素 a，aA，元素 a 与集合 A 的关系不能用“”
13、，a 是否等于 0 不确定，所以 0 是否属于 A 不确定，故选 C.3.若一个集合中的三个元素 a，b，c 是ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形.4.已知集合 A 是由不等式 5x30 的解组成的集合，则有( )A.1A B.0AC. A D.2A12答案 D解析 逐一代入检验可得 D 正确.5.集合 Ax|x0，y0 时，z1113；当 x0，y0时，z1111；当 x，31211所以 2不在由小于的实数构成的集合 P 中，311所以 2P.3(2)因为 5221
14、,2N*，所以 5Q.10.已知R； Q；0N；Q；3Z.正确的个数为_.513答案 3解析 是正确的；是错误的.11.由实数 x，x，|x|，及所组成的集合，最多含有_个元素.x23x3答案 2解析 因为|x|x，|x|，x，所以不论 x 取何值，最多只能写成两种形式：x23x3x，x，故集合中最多含有 2 个元素.三、解答题12.已知集合 A 只含有两个元素 a 和 a2，若 1A，求实数 a 的值.解 若 1A，则 a1 或 a21，故 a1 或1.当 a1 时，集合 A 有重复元素，a1；当 a1 时，集合 A 含有两个元素 1，1，符合题意，a1.13.若集合 A 中含有 3 个元素 x,0，x2x，求 x 满足的条件.解 由题意得Error!得Error!x 满足的条件是 x0，且 x1，且 x2.14.若集合 A0,1,2,3，集合 Bx|xA,1xA，则集合 B 中元素的个数是多少？解 若x0A，则 1x1A，此时 x0 不成立；若x1A，则 1x2A，此时 x1 不成立；若x2A，则 1x3A，此时 x2 不成立；若x3A，则 1x4A，此时 x3 满足条件.综上可知 B3，故集合 B 中元素的个数为 1.
