《【北师大版】数学必修2精品讲学案：1.7-简单几何体的再认识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【北师大版】数学必修2精品讲学案：1.7-简单几何体的再认识（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 课时 柱、锥、台的侧面展开与面积核心必知1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧2rl圆锥扇形S圆锥侧rl圆台扇环S圆台侧(r1r2)l其中 r 为底面半径，l 为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧ch正棱锥 S正棱锥侧 ch12正棱台S正棱台侧 (cc)h12其中 c，c 分别表示上，下底面周长，h 表示高，h表示斜高问题思考1一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同表面积是各个面的面积和，几何体的侧
2、面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定2柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令 cc，可以得到柱体的侧面积公式，令 c0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S柱侧chcc,S台侧 (cc)hS锥侧 ch.12c0123棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱
3、柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积讲一讲1(1)圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形，则圆柱的表面积为( )A6(43)B8(31)C6(43)或 8(31)D6(41)或 8(32)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A11 B12C13 D14尝试解答 (1)选 C 圆柱的侧面积 S侧64242.以边长为 6 的边为轴时，4 为圆柱底面周长，则 2r4，即 r2，S底4，S全S侧2S底24288(31)以边长为 4 的边为轴时，6 为圆柱底面周长，则 2r6，即r3，S底9，S全S侧2S底242186(43)(2)选 C 如图所示，PB 为圆锥的
4、母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心O1为 PO2的中点， ，PO1PO2PAPBO1AO2B12PAAB，O2B2O1A.S圆锥侧 2O1APA，12S圆台侧 2(O1AO2B)AB，12 .S圆锥侧S圆台侧O1APAO1AO2BAB131求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和2求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积练一练1圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上
5、底面周长为 c，因为扇环的圆心角是 180，故 cSA210，所以 SA20(cm)，同理可得 SB40(cm)，所以 ABSBSA20(cm)，所以 S表面积S侧S上S下(r1r2)ABr r2 12 2(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为 1 100 cm2.讲一讲2五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是 8 cm 和 18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是 13 cm，求它的侧面积尝试解答 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为 8 cm 和 18 cm，腰长为 13 cm 的等腰梯形，由点 A 向 BC 作垂线，设垂足为 E，由点 D
6、向 BC 作垂线，设垂足为 F，易知 BECF.BEEFFC2BFADBC，BF13.BEBFAD1385.BCAD21882又 AB13，AE12.S四边形 ABCD (ADBC)AE (188)12156(cm2)1212故其侧面积为 1565780(cm2)要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答练一练2已知正三棱锥 VABC 的主视图，俯视图如图所示，其中 VA4，AC2，求该3三棱锥的表面积解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且 VAVBVC4，ABBCAC2，3取 BC 的中点 D，
7、连接 VD，则 VD，VB2BD242 3213SVBC VDBC 2，121213339SABC (2)23，123323三棱锥 VABC 的表面积为3SVBCSABC333().393393讲一讲3已知一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在其内部有一个高为 x 的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？尝试解答 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图(1)设所求圆柱的底面半径为 r，则 ， rR x，rRHxHRHS圆柱侧2rx2Rxx2.2RH(2)S圆柱侧是关于 x 的二次函数，当 x 时，S圆柱侧有最大值，2R2 2RHH2即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面
8、积最大解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解练一练3已知底面半径为 cm，母线长为 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为36顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积解：如图，由题意易知圆锥的母线长为 3 cm.则 SS底S柱侧S圆锥侧()2233363(363)(cm2)23如图所示，圆柱 OO的底面半径为 2 cm，高为 4 cm，点 P 为母线 BB 的中点，AOB ，试求一蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最短路程23巧思 将圆柱的侧面展开，将 A、P 两点转化到同一个平面上解决妙解 将圆柱侧面沿母线
9、AA剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段 AP.在 RtABP 中，AB 2 (cm)，PB2(cm)，2343AP (cm)AB2BP223 429故蚂蚁爬的最短路程为 cm.23 4291矩形的边长分别为 1 和 2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A12 B11C14 D41解析：选 B 以边长为 1 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S12214，以边长为 2 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积 S22124，S1S24411.2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为( )A2 B22C4 D8解析：选 C 设圆台的母线
10、长为 l，上、下底面半径分别为 r，R，则 l (rR)12又 32(rR)l2l2，l216，l4.3(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A286 B30655C5612 D601255解析：选 B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示由题中所给条件，可求得 SABD 4510，12SACDSBCD 4510，ACBC，1241AB2，可求得ABC 中 AB 边上的高为6，所以 SABC 626.54151255综上可知，该三棱锥的表面积为 SABDSACDSBCDSABC306.54圆锥的侧面展开图是半径为 R 的半圆，则圆锥的高是_解析：设底面半径是 r
11、，则 2rR，r ，圆锥的高 hR.R2R2r232答案：R325若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于_解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为 2，高为 1，侧棱和底面垂直，故其表面积S22221362.343答案：6236.一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长为，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 2 的正方形拼成的矩形求该几何体的3表面积 S.解：由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以 S2(11112)362.3一、选择
12、题1圆台的母线长扩大为原来的 n 倍，两底面半径都缩小为原来的 倍，那么它的侧面1n积变为原来的( )A1 倍 Bn 倍Cn2倍 D. 倍1n解析：选 A 由 S侧(rr)l.当 r，r缩小 倍，l 扩大 n 倍时，S侧不变1n2已知正四棱锥底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为( )A12 B36 C24 D48解析：选 D 正四棱锥的斜高 h4，5232S侧4 6448.123长方体的对角线长为 2，长、宽、高的比为 321，那么它的表面积为( )14A44 B88 C64 D48解析：选 B 设长，宽，高分别为 3x,2x，x，则对角线长为x29x24x2x214，x2.14表
13、面积 S2(6x23x22x2)88.4圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A4S B2S CS D.S2 33解析：选 A 设圆柱的底面半径为 R，则 SR2，R，S则圆柱的母线长 l2R2.SS侧面积(2R)242R242 4S.S5(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A180 B200C220 D240解析：选 D 几何体为直四棱柱，其高为 10，底面是上底为 2，下底为 8，高为 4，腰为 5 的等腰梯形，故两个底面面积的和为 (28)4240，四个侧面面积的和为12(2852)10200，所以直四棱柱的表面积为 S
14、40200240，故选 D.二、填空题6已知圆台的上、下底面半径和高的比为 144，母线长为 10，则圆台的侧面积为_解析：设上底面半径为 r，则下底面半径为 4r，高为 4r，如图母线长为 10，有 102(4r)2(4rr)2，解得 r2.S圆台侧(r4r)10100.答案：1007已知棱长为 1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是_解析：由条件可知，四面体的斜高为，32所以其表面积为 S表4 1.12323答案：38如图，直三棱柱的主视图面积为 2a2，则左视图的面积为_解析：此直三棱柱的底面是边长为 a 的正三角形，该三角形的高为a.左视图是一矩32形，一边为a，另一边为 2a，故左视图的面积为a2aa2.3
