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1、绝密启用前20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数数 学学( (理工农医类理工农医类) )一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（1+）3等于1 iA.8 B.8C.8iD.8i (D)2 “|x-1|2 成立”是“x（x-3）0 成立”的A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（B）3.已知变量 x、y 满足条件则 x+y 的最大值是1, 0, 290,x xy xy A.2 B.5C.6D.8(C)4.设随机变
2、量服从正态分布 N(2,9) ,若 P (c+1)=P(c,则 c=1A.1B.2C.3D.4(B)5.设有直线 m、n 和平面、。下列四个命题中，正确的是A.若 m,n,则 mnB.若 m,n,m,n,则C.若，m,则 mD.若，m，m,则 m（D）6.函数 f(x)=sin2x+在区间上的最大值是3sin cosxx,4 2 A.1B.C. D.1+(C)13 23 237.设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且2,DCBDuuu ruuu r2,CEEAuuu ruu u r则与2,AFFBuuu ruu u rADBECFuuu ruuu ruuu rBCu
3、uu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)8.若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左22221xy ab3 2a准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+) (B)9.长方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2,AD=,AA1=1,3则顶点 A、B 间的球面距离是A.2B.C.D. (C)222 22 410.设x表示不超过 x 的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的 nN*,定义5 4，x,则当 x时，函数的值域是 2(1)(1)(1)(1)nn nnxCx
4、 xxxLL1,3,322 nCA.B.16,283 16,563C.D.(D)284,328,5616284,2833二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。11.211lim34xx xx1 512.已知椭圆（ab0）的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e=过顶点22221xy ab5.5A(0,b)作 AMl,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于.1 213.设函数 y=f(x)存在反函数 y=f1（x）,且函数 y=x-f(x)的图象过点(1,2).则函数 y=f1(x)-x 的图象一定过点 (-1,2) .14.已知函数 f(x)
5、3(1).1axaa（1）若 a1,则 f(x)的定义域是;3,a(2)若 f(x)在区间上是减函数，则实数 a 的取值范围是.0,1 ,01,315.对有 n(n4)个元素的总体1,2,3,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,，m和m+1、m+2,，n(m 是给定的正整数，且 2mn-2),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本，用 Pij表示元素 i和f 同时出现在样本中的概率，则P1m=;所有 Pif(1ij的和等于 6 .4 ()m nmn三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三人参加
6、了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：1 2 （）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望. 解 用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立，且P（A）P（B）P（C）.1 2 （）至少有 1 人面试合格的概率是3171()1( ) ( ) ( )1 ( ).28P ABCP A P B P C （）的可能取值为 0，1，2，3.(0)()()()PP ABCP ABCP ABC ( ) ( )
7、( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C3231113( )( )( ).2228(1)()()()PP ABCP ABCP ABC =( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C=3331113( )( )( ).22281(2)()( ) ( ) ( ).8PP ABCP A P B P C 1(3)()( ) ( ) ( ).8PP ABCP A P B P C 所以， 的分布列是0123P3 83 81 81 8的期望331
8、101231.8888E 17.（本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB; （）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 解 解法一（）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且BCD=60知，BCD 是 等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD,又 ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平 面 ABCD，平面 ABCD，所以 PABE.而AB=A,因此 BE平面 PAB.BE PA 又平面 PBE，所以平面
9、PBE平面 PAB.BE （）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AHPB 于 H，由（）知平面PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE. 在 RtABF 中，因为BAF60，所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中， 22.2AGPA在 RtPAB 中， 2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPAB gg所以，在 RtAHG 中， 2 5 105sin.
10、52AHAGHAG故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，P（0，0，2） ，3313( ,0),( ,0),2222CD（）因为，平面 PAB 的一个法向量是，所以共线.3(0,0)2BE 0(0,1,0)n 0BEn和从而 BE平面 PAB. 又因为平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB.BE ()易知 3(1,0, 2),(0,02PBBEuu u ruuu r，），13(0,0, 2),( ,0)22PAADuu u ruuu r设
11、是平面PBE的一个法向量，则由得1111( ,)nx y zr110,0n PBn BEu r uu u rgu r uuu rg所以111122020,3000.2xyzxyz 11110,2 .(2,0,1).yxznu r故可取设是平面PAD的一个法向量，则由得2222(,)nxyzu u r220,0n PAn ADu u r uu u rgu u r uuu rg所以故可取2222220020,1300.22xyzxyz 2220,3.zxy 2( 3, 1,0).n u u r于是，12 12122 315cos,.552n nn n nnu r u u ru r u u rgu
12、r u u rg故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.518.（本小题满分 12 分）数列 22 1221,2,(1 cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaanL满足()求并求数列的通项公式；34,a a na()设证明：当21 12 2,.n nnn nabSbbbaL162.nnSn时，解 ()因为22 123111,2,(1 cos)sin12,22aaaaa 所以22 22(1 cos)sin24.naaa一般地，当时，*21(N )nkk22 2121(21)211 cossin22kkkkaa，即211ka21211.kkaa所以数列是首
13、项为 1、公差为 1 的等差数列，因此21ka21.kak当时，*2 (N )nk k2 2222(1 cos2.2kkkaa所以数列是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2ka22 .k ka故数列的通项公式为 na*2*21,21(N ,22 ,2 (N .nnnkk ank k ()由()知，21 2 2,2n n nanba23123,2222nnnS L22411123 22222nnnSL-得，23111111.222222nnnnSL211111 ( ) 1221.122212nnnnn 所以11222.222nnnnnnS要证明当时，成立，只需证明当时，成立.6n 12n
14、Sn6n (2)12nn n证法一(1)当n=6 时，成立.66 (62)48312644(2)假设当时不等式成立，即(6)nk k(2)1.2kk k 则当n=k+1 时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222 (2)(2) 2kkkkk kkkkk k kkkg由(1)、(2)所述，当n6 时，即当n6 时，2(1)12n n12.nSn证法二令，则2(2)(6)2nn ncn21121(1)(3)(2)30.222nnnnnnn nncc所以当时，.因此当时，6n 1nncc6n 66 831.644ncc于是当时，6n 2(2)1.2n n综上所述，当时，6n 12.nSn19.（本小题满分 13 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处 有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东且与点 A 相距 40海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行4
