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1、三轮复习谈高考新型问题解题策略一知识探究：一知识探究：1探索型问题常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题；（1）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；（2）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；（3）全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同
2、时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标；深刻理解题意;开阔思路,发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向。方向确定后，又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法：（1）直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；
3、假设结论存在（或不存在） ，然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等；（2）观察猜测证明（3）特殊一般特殊其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题；（4）联想类比（5）赋值推断（6）几何意义法几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论，由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决；2创新题型根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求，结合中学数学教材的内容及我国的经济发展的要求，在实际问题中侧重如下几种模型：（1）社会经济模型
4、现值、终值的计算及应用（计息、分期付款、贴现等） ，投资收益，折旧，库存，经济图表的运用；（2）拟合模型数据的利用、分析与预测（线形回归、曲线拟合）等问题；（3）优化模型科学规划，劳动力利用，工期效益，合理施肥，最值问题，工程网络，物资调用等问题；（4）概率统计模型彩票与模型，市场统计，评估预测，风险决策，抽样估计等问题；（5）几何应用模型工厂选址，展开、折叠，视图，容器设计，空间量的计算，轨迹的应用等；（6）边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。二命题趋势二命题趋势从最近几年来高考中探索性问题和创新题型逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。我们认为进行
5、探索性问题的训练，是数学教育走出困境的一个好办法。在第二轮复习的过程中要重视对探索性问题的专题训练,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些，难度由浅入深；预测 08 年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何，今年高考这些内容还是出探索性问题的热点（特别是解答题）应加强对这些内容的研究；创新题型多出现与经济、生活密切相关的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。三例题点评三例题点评题型 1：探索问题之直接法例 1 （2007 年上海理 10）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。, 12,l
6、 l12,l l12,s s12,t t试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 12,s s12,t t12,l l。解析：，并且与相交（，并且21/ss1t2t/1t2t与相交） ； 作图易得“能成为是异面直线的1s2s12,l l充分条件”的是“，并且与相交”或“21/ss1t2t，并且与相交” 。/1t2t1s2s例 2 （2000 年全国高考试题）如图，E、F 分别为正方体的面 ADD1A1和面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_（要求把可能的图形的序号都填上）分析：本题为结论探索型的试题，要求有一定的空间想象能力。解析：由于正方体的
7、 6 个面可分为互为平行的三对，而四边形 BFD1E 的在互为平行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图；b：在前、后两面上的射影为图；c：在左、右两面上的射影为图.综上可知，在正方体各面上的射影是图或图。点评：这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。例 3已知函数(a,cR,a0,b 是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且1)(2axcbxxf21f(1).（1）求函数 f(x)的解析式；（2）是否存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点，52并且使得 P、Q 两点关于点（1，0
8、）对称，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由.分析：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力.解析：（1）f(x)是奇函数，f(x)=f(x)，即，bx+c=bxc，c=0，1122 axcbx axcbxf(x)=.由 a0，b 是自然数得当 x0 时，f(x)0，12axbx当 x0 时，f(x)0，f(x)的最大值在 x0 时取得.x0 时，当且仅当221 11)(ba bxxbaxf bxxba1即时，f(x)有最大值=1,a=b2 ax121212ba2ba又 f(1)，,5b2a+2 52 1ab 52把代入得 2b25b+20 解得b2，
9、又 bN,b=1,a=1,f(x)=21 12xx（2）设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点，且 P、Q 关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则 Q（2x0,y0)，,消去 y0，得 x022x01=0 02 0002 001)2(21yxxyxx解之，得 x0=1,P 点坐标为()或()，242,2142,21进而相应 Q 点坐标为 Q（）或 Q()，42,2142,21过 P、Q 的直线 l 的方程：x4y1=0 即为所求。点评：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论
10、证。题型 2：探索问题“观察猜测证明”例 4观察 sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，写出一43 43个与以上两式规律相同的一个等式 .答案：sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=；43例 5.（2003 高考上海卷）已知数列（n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比na数列。（1）求和：;,3 342 331 320 312 231 220 21CaCaCaCaCaCaCa（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明.（3）设 q1，Sn是等比数列的前 n 项和，求：na，n
11、nnn nnnnCSCSCSCSCS13 42 31 20 1) 1(K解析：（1）.)1 (33,)1 (23 13 12 1113 342 331 320 312 12 1112 231 220 21 qaqaqaqaaCaCaCaCaqaqaqaaCaCaCa（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，na则：nn nnn nnnnn nnn nnnnn nnn nnnnnn nnn nnnnqaCqCqCqqCCaCqaCqaCqaqCaCaCaCaCaCaCanqaCaCaCaCaCa)1 () 1() 1() 1(:.,)1 () 1(1332210 11
12、33 122 11 10 113 42 31 20 1113 42 31 20 1KKKK证明为正整数（3）因为,111 qqaaSnn.)1 (1) 1(1) 1(11) 1(111) 1(13322101321011 1123 1112 1101113 42 31 20 1nn nnn nnnnn nn nnnnn nn n nnnn nnn nnnnqqqaCqCqCqqCCqqaCCCCCqaCqqaaCqqaaCqqaaCqqaaCSCSCSCSCSKKKK所以例 6.由下列各式：11 21111 2311111131 234567211112 2315LL L你能得出怎样的结论，并
13、进行证明。分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，一般的有 2n-1，对应各式右端为一般也有。 2n解析：归纳得一般结论*1111() 23212nnnNL证明：当 n=1 时，结论显然成立.当 n2 时，3333111111111111()() 2321244222211111111()() 2222222222nnnnnnnnnn LLL故结论得证。题型 3：探究问题之“特殊一般特殊”例 7设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR,a0)满足条件：当 xR 时，f(x4)=f(2x)，且 f
14、(x)x；当 x(0,2)时，f(x)；2)21(xf(x)在 R 上的最小值为 0。求最大值 m(m1)，使得存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x分析：本题先根据题设求出函数 f（x）解析式，然后假设 t 存在，取 x=1 得 t 的范围，再令 x=m 求出 m 的取值范围，进而根据 t 的范围求出 m 的最大值。解法一：f(x-4)=f(2-x)，函数的图象关于 x= -1 对称 即 b=2a12ab由知当 x= 1 时,y=0，即 ab+c=0；由得 f(1)1，由得 f(1)1。f(1)=1，即 a+b+c=1，又 ab+c=0，a=、b=、c=，41 21 41f(x)=
15、，41 21 412xx假设存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x，取 x=1 时，有 f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+14t0，41 21 41对固定的 t4,0，取 x=m，有：f(tm)m(t+m)2+(t+m)+mm2(1t)m+(t2+2t+1)0，41 21 41m m=9，tt41tt41tt41) 4(4) 4(1当 t= -4 时，对任意的 x1,9，恒有 f(x4)x=(x210x+9)=(x1)(x9)0，41 41m 的最大值为 9。解法二：f(x-4)=f(2-x)，函数的图象关于 x=1 对称， ，b=2a。12ab由知当 x= 1 时,y=0，即 ab+c=0；由得 f(1)1，由得 f(1)1。f(1)=1，
