《2015年秋北师大版选修4-4数学:第1章《柱坐标系和球坐标系》学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015年秋北师大版选修4-4数学:第1章《柱坐标系和球坐标系》学案(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、33 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系1了解在柱坐标系,球坐标系中刻画空间点的位置的方法 2掌握点的坐标系之间的互化,并能解决简单的实际问题1柱坐标系 在平面极坐标系的基础上,通过极点O,再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴, 这样就建立了柱坐标系(如图)设M(x,y,z)为空间一点,并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r,), 则这样的三个数r,z构成的有序数组(r,z)就叫作点M的_,这里规定 r,z的变化范围为 0r,02,z. 特别地,r常数,表示的是以z轴为轴的_; 常数,表示的是过z轴的_; z常数,表示的是与xOy平面平行的_ 显然,点M的直角坐标与柱坐标的关系为
2、Error!【做一做 11】点A的柱坐标是,则它的直角坐标是_(2, 6,7)【做一做 12】点B的直角坐标为(1, ,4),则它的柱坐标是_3 2球坐标系 设M(x,y,z)为空间一点,点M可用这样三个有次序的数r,来确定,其中r为原点O到点M间的距离,为有向线段与z轴正方向所夹的角,为从z轴正半轴看,OMx轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角,这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)OP这样的三个数r,构成的有序数组(r,)叫作点M的_,这里 r,的变化范围为 0r,0,02,特别地,r常数,表示的是_;常数,表示的是以原点为顶点,z轴 为轴的圆锥面;常数,表示的是过z轴的半平面点M的直
3、角坐标与球坐标的关系为 Error!【做一做 21】设点M的球坐标为,则它的直角坐标是_(2,3 4,3 4) 【做一做 22】将点M(1,1,)化成球坐标为_61在研究空间图形的几何特征时,应该怎样建立坐标系? 剖析:我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱 坐标系、球坐标系等 坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转 化不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们就可以根据问题的特点选择适当的 坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系 有些图形虽然没有互相垂直且相
4、交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系 (如:正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来 解题 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们 可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标 系 2空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法,它们有什么联系和区别? 剖析:在直角坐标系中,我们需要三个长度x,y,z;而在柱坐标系中,我们需要长 度,还需要角度,它是从长度、方向来描述一个点的位置,需要r,z. 空间直角坐标:设点M为空间一已知点我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y 轴、z轴,它们
5、与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的 坐标依次为x,y,z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x,y,z)这个组 数(x,y,z)就叫做点M的坐标,并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐 标(如图所示)坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z)这样,通过空间直角坐标系,我们就 建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系 如果点M在yOz平面上,则x0;同样,zOx平面上的点,y0;xOy平面上的点, z0.如果点M在x轴上,则yz0;如果点M在y轴上,则xz0;如果点M在z轴 上,则xy0.如果M是原点,则xyz0 等
6、这两种三维坐标互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置, 只是描述的角度不同 答案:答案: 1柱坐标 圆柱面 半平面 平面 rcos rsin 【做一做 11】(,1,7) xrcos 2cos,3 63yrsin 2sin1,z7, 6 点A的直角坐标为(,1,7)3【做一做 12】 x1rcos ,yrsin ,(2, 3,4)3tan .02,x0,r2,z4,3 3点B的柱坐标为.(2, 3,4)2球坐标 以原点为球心的球面 rsin cos rsin sin rcos 【做一做 21】(1,1,) 由公式得2 Error! 点M的直角坐标为(1,1,)2【做一做 2
7、2】 设点M的球坐标为(,),(2 2, 6,34)则r2,tan ,由1212 622x2y2z12126330,知, 6又 tan 1,02,x0,y x1 1.M(1,1,)的球坐标为.3 46(2 2, 6,34)题型一 柱坐标与直角坐标的互化 【例 1】将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直角坐标(1)M(1, ,2);(2)P.3(2, 4,1)分析:利用相关公式代入进行转化求值 反思:已知直角坐标求柱坐标,可以先设出点M的柱坐标为(r,z),代入变换公式Error!求r,也可以利用r2x2y2求r,利用 tan 求,在求的时候特别注意y x 角所在的象限,从而确定的取值
8、;已知柱坐标求直角坐标时,将r,z的值代入 变换公式Error!即可 题型二 球坐标与直角坐标的互化 【例 2】将点M的直角坐标化为球坐标,点P的球坐标化为直角坐标(1)M(1, ,2);3(2)P.(2, 6,3) 分析:利用相关公式代入进行转化求值 反思:由点M的直角坐标化为球坐标时,可以先设点M的球坐标为(r,),再利 用变换公式Error!求出r,代入点的球坐标即可;也可以利用r2x2y2z2,tan ,cOs .由直角坐标求球坐标,在确定和的取值时,y xz r 要特别注意和的取值范围以及点M的位置,由球坐标化为直角坐标时,可直接代入 变换公式,计算x,y,z的值即可 题型三 柱坐标
9、、球坐标的实际应用 【例 3】一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为 200 m,每相邻两排的间距为 1 m,每层看台的高度为 0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中 的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来 反思:找空间中一点的柱坐标,与找平面极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只 是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度 题型四 易错题型 【例 4】将直角坐标系中的点M(3, ,3)转化成柱坐标3 错解:错解:设点M的柱坐标为(r,z), 则由Error!得Error!tan .3
10、302, 或.5 611 6当 时,r2;当 时,r2.5 6311 63M点的柱坐标为或.(2 3,5 6,3) (2 3,11 6,3)错因分析:在求解时,没有注意还有一个条件即x30, .5 6 另r0,),故r20 错误3 答案:答案: 【例 1】解:解:(1)设M点的柱坐标为(r,z), 则有Error!Error!tan .3又02,x0,r2.2 3M点的柱坐标为.(2,2 3,2)(2)设P点的直角坐标为(x,y,z), 则有Error! 点P的直角坐标为(, ,1)22 【例 2】解:解:(1)设M点的球坐标为(r,), 则有Error!Error! tan .02,x0,3
11、,r2. 3x2y2z212 3222222cos .cos .2220,. 4M点的球坐标为.(2 2, 4,3) (2)设P点的直角坐标为(x,y,z), 则有Error!P点的直角坐标为.(1 2,32, 3)【例 3】解:解:以圆形体育馆中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为 203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为 2.8 m,因此2 1617 217 16点A的柱坐标为.(203,17 16,2.8)【例 4】正解:正解:设点M的柱坐标为(r,z), 则由Error!得
12、Error!02 且x0, ,r2.5 63M点的柱坐标为.(2 3,5 6,3)1 设点M的直角坐标为(1,9),则它的柱坐标是( )3A B2,9322,93C D42,9352,932 在球坐标系中,M与N两点间的距离是_ 4,4 6 24,4 33 设点A的柱坐标为,则它的球坐标为_2, 644 用两个平行平面去截球,在两个截面圆上有两个点,它们分别为A、B8,4A,求出这两个截面间的距离38,4B 答案:答案:1D r2,z9,12 325 3点M的柱坐标为.(2,5 3,9)24 设点M的直角坐标为(x,y,z),则(4, 4,6) Error! M点的直角坐标为(, ,2),62
13、2 同理,N点的直角坐标为(, ,2)262 |MN| 6 22 2 622 22 224.3 设A的直角坐标为(x,y,z),(2 2, 6,4)则xrcos cos1,2 4yrsin cos1,z,2 46点A的直角坐标为(1,1,)6 设点A的球坐标为(r,) 则有Error!Error! tan 1.又02,x0,r2. 4x2y2z21212 622cos .62 232又0,. 6点A的球坐标为.(2 2, 6,4) 4解:解:如图,由题意可知,O1O2即为两个截面间的距离|OA|OB|8,AOO1,BOO1, 43 4在AOO1中,|OO1|OA|cos4. 42在BOO2中,|OO2|OB|cos4. 42 则|O1O2|OO1|OO2|448,即两个截面间的距离为 8.2222