《2015年秋北师大版选修4-4数学：第1章《柱坐标系和球坐标系》学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年秋北师大版选修4-4数学：第1章《柱坐标系和球坐标系》学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、33 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系1了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法 2掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题1柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴， 这样就建立了柱坐标系(如图)设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)， 则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点M的_，这里规定 r，z的变化范围为 0r，02，z. 特别地，r常数，表示的是以z轴为轴的_； 常数，表示的是过z轴的_； z常数，表示的是与xOy平面平行的_ 显然，点M的直角坐标与柱坐标的关系为
2、Error!【做一做 11】点A的柱坐标是，则它的直角坐标是_(2， 6，7)【做一做 12】点B的直角坐标为(1， ，4)，则它的柱坐标是_3 2球坐标系 设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的距离，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，OMx轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)OP这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点M的_，这里 r，的变化范围为 0r，0，02，特别地，r常数，表示的是_；常数，表示的是以原点为顶点，z轴 为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面点M的直
3、角坐标与球坐标的关系为 Error!【做一做 21】设点M的球坐标为，则它的直角坐标是_(2，3 4，3 4) 【做一做 22】将点M(1，1，)化成球坐标为_61在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？ 剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱 坐标系、球坐标系等 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转 化不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的 坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系 有些图形虽然没有互相垂直且相
4、交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系 (如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来 解题 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们 可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标 系 2空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x，y，z；而在柱坐标系中，我们需要长 度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r，z. 空间直角坐标：设点M为空间一已知点我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y 轴、z轴，它们
5、与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的 坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)这个组 数(x，y，z)就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐 标(如图所示)坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)这样，通过空间直角坐标系，我们就 建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系 如果点M在yOz平面上，则x0；同样，zOx平面上的点，y0；xOy平面上的点， z0.如果点M在x轴上，则yz0；如果点M在y轴上，则xz0；如果点M在z轴 上，则xy0.如果M是原点，则xyz0 等
6、这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置， 只是描述的角度不同 答案：答案： 1柱坐标 圆柱面 半平面 平面 rcos rsin 【做一做 11】(，1,7) xrcos 2cos，3 63yrsin 2sin1，z7， 6 点A的直角坐标为(，1,7)3【做一做 12】 x1rcos ，yrsin ，(2， 3，4)3tan .02，x0，r2，z4，3 3点B的柱坐标为.(2， 3，4)2球坐标 以原点为球心的球面 rsin cos rsin sin rcos 【做一做 21】(1,1，) 由公式得2 Error! 点M的直角坐标为(1,1，)2【做一做 2
7、2】 设点M的球坐标为(，)，(2 2， 6，34)则r2，tan ，由1212 622x2y2z12126330，知， 6又 tan 1,02，x0，y x1 1.M(1，1，)的球坐标为.3 46(2 2， 6，34)题型一 柱坐标与直角坐标的互化 【例 1】将点M的直角坐标化为柱坐标，将点P的柱坐标化为直角坐标(1)M(1， ，2)；(2)P.3(2， 4，1)分析：利用相关公式代入进行转化求值 反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(r，z)，代入变换公式Error!求r，也可以利用r2x2y2求r，利用 tan 求，在求的时候特别注意y x 角所在的象限，从而确定的取值
8、；已知柱坐标求直角坐标时，将r，z的值代入 变换公式Error!即可 题型二 球坐标与直角坐标的互化 【例 2】将点M的直角坐标化为球坐标，点P的球坐标化为直角坐标(1)M(1， ，2)；3(2)P.(2， 6，3) 分析：利用相关公式代入进行转化求值 反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(r，)，再利 用变换公式Error!求出r，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cOs .由直角坐标求球坐标，在确定和的取值时，y xz r 要特别注意和的取值范围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入 变换公式，计算x，y，z的值即可 题型三 柱坐标
9、、球坐标的实际应用 【例 3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为 200 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中 的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来 反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只 是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度 题型四 易错题型 【例 4】将直角坐标系中的点M(3， ，3)转化成柱坐标3 错解：错解：设点M的柱坐标为(r，z)， 则由Error!得Error!tan .3
10、302， 或.5 611 6当 时，r2；当 时，r2.5 6311 63M点的柱坐标为或.(2 3，5 6，3) (2 3，11 6，3)错因分析：在求解时，没有注意还有一个条件即x30， .5 6 另r0，)，故r20 错误3 答案：答案： 【例 1】解：解：(1)设M点的柱坐标为(r，z)， 则有Error!Error!tan .3又02，x0，r2.2 3M点的柱坐标为.(2，2 3，2)(2)设P点的直角坐标为(x，y，z)， 则有Error! 点P的直角坐标为(， ，1)22 【例 2】解：解：(1)设M点的球坐标为(r，)， 则有Error!Error! tan .02，x0，3
11、，r2. 3x2y2z212 3222222cos .cos .2220，. 4M点的球坐标为.(2 2， 4，3) (2)设P点的直角坐标为(x，y，z)， 则有Error!P点的直角坐标为.(1 2，32， 3)【例 3】解：解：以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为 203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为 2.8 m，因此2 1617 217 16点A的柱坐标为.(203，17 16，2.8)【例 4】正解：正解：设点M的柱坐标为(r，z)， 则由Error!得
12、Error!02 且x0， ，r2.5 63M点的柱坐标为.(2 3，5 6，3)1 设点M的直角坐标为(1，9)，则它的柱坐标是( )3A B2,9322,93C D42,9352,932 在球坐标系中，M与N两点间的距离是_ 4,4 6 24,4 33 设点A的柱坐标为，则它的球坐标为_2, 644 用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A、B8,4A，求出这两个截面间的距离38,4B 答案：答案：1D r2，z9，12 325 3点M的柱坐标为.(2，5 3，9)24 设点M的直角坐标为(x，y，z)，则(4， 4，6) Error! M点的直角坐标为(， ，2)，62
13、2 同理，N点的直角坐标为(， ，2)262 |MN| 6 22 2 622 22 224.3 设A的直角坐标为(x，y，z)，(2 2， 6，4)则xrcos cos1，2 4yrsin cos1，z，2 46点A的直角坐标为(1,1，)6 设点A的球坐标为(r，) 则有Error!Error! tan 1.又02，x0，r2. 4x2y2z21212 622cos .62 232又0，. 6点A的球坐标为.(2 2， 6，4) 4解：解：如图，由题意可知，O1O2即为两个截面间的距离|OA|OB|8，AOO1，BOO1， 43 4在AOO1中，|OO1|OA|cos4. 42在BOO2中，|OO2|OB|cos4. 42 则|O1O2|OO1|OO2|448，即两个截面间的距离为 8.2222
