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1、绝密绝密启用前启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题卷（选择题 共共 4040 分）分）注意事项： 1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选
2、出符合题 目要求的一项。（1）在复平面内，复数对应的点位于1 i i（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限（2）若与都是非零向量，则“”是“”的abca ba c()abc（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共1,2,3,4,5有 （A）36 个（B）24 个 （C）18 个（D）6 个（4）平面的斜线交于点，过定点的动直线 与垂直，且交于点，ABBAlABC 则动点的轨迹是C （A）一条直线（B）一个圆 （C）一个椭圆（D）双曲线的一支（5）已知是上
3、的减函数，那么的取值范围是(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x(,) a（A）（B）(0,1)1(0, )3（C）（D）1 1( , )7 31 ,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，(1,2)1212,()x x xx恒成立”的只有1221|()()| |f xf xxx（A）（B）1( )f xx |f xx（C）（D）( )2xf x 2( )f xx（7）设，则等于4710310( )22222()nf nnNL( )f n（A）（B）2(81)7n12(81)7n（C）（D）32(81)7n42(81)7n（8）下图为某三岔路口交通环岛的简
4、化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段, ,A B C123,x x x的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出,AB BC CA的车辆数相等） ，则 （A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx绝密绝密启用前启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数 学（理工农医类）学（理工农医类） （北京卷）（北京卷）第卷（共卷（共 110110 分）分）注意事项： 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、 填空题：
5、本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）的值等于_.22132lim1xxx x （10）在的展开式中，的系数中_（用数字作答）.72()xx2x（11）若三点共线，则的值等于_.(2,2), ( ,0),(0, )(0)AB aCb ab 11 ab（12）在中，若，则的大小是_.ABCsin:sin:sin5:7:8ABC B（13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值( , )P x y41xy yx x O|PO等于_,最大值等于_.（14）已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么, ,A B CORACBCABR两点的球面距离为_，
6、球心到平面的距离为,A BABC_.三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题共 12 分）已知函数，12sin(2)4( )cosx f xx （）求的定义域；( )f x（）设是第四象限的角，且，求的值.4tan3 ( )f（16） （本小题共 13 分）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经32( )f xaxbxcx0x5( )yfx过点，如图所示.求：(1,0)(2,0)（）的值；0x（）的值., ,a b c（17） （本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，PABCDABACPA ABCD
7、 且，点是的中点.PAABEPD（）求证：；ACPB （）求证：平面；/PBAEC （）求二面角的大小.EACB（18） （本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及, ,a b c格相互之间没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19） （本小题共 14 分）已知点，动点满足条件.记动点的轨
8、迹为( 2,0),(2,0)MNP| 2 2PMPNP.W （）求的方程；W（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.,A BWOOA OBuu u r uuu r（20） （本小题共 14 分）在数列中，若是正整数，且，则称为na12,a a12|,3,4,5,nnnaaanLna“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列” （只要求写出前十项） ；（）若“绝对差数列”中，数列满足na20213,0aa nb，分别判断当时，与的极限是12nnnnbaaa1,2,3,n Ln nanb否存在，如果存在，求出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.参考
9、答案一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1D2C3B4A5C6A 7D 8C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）141 2（11） （12）1 23（13） （14） 2101 3R3 2R三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15） （共 12 分）解：（）由得。cos0x ()2xkkZ故的定义域为， f x,2x xkkZ（）因为且第四象限的角，43tan,cos,55 所以43sin,cos,55 故 212sin(2)4 cos 2212(sin2cos2 )22
10、cos 1 sin2cos2 cos 2cos2sincos cos 2 cossin14 5f （16） （本小题共 13 分） 解法一：（）由图像可知，在上，在上，在,1 0fx 1,2 0fx 上2, 0fx 故在上递增，在上递减，( )f x（-，1），（2，+ ）(1,2)因此在处取得极大值，所以 f x1x 01x （）2( )32,fxaxbxc由fff（1）0，（2）0，（1）5，得320, 1240, 5,abc abc abc 解得2,9,12.abc 解法二： （）同解法一（）设2( )(1)(2)32 ,fxm xxmxmxm又2( )32,fxaxbxc所以3,232
11、mabm cm 32|3( )2,32mf xxmxmx由(1)5f ，即325,32mmm得6,m 所以2,9,12abc （17） （共 14 分） 解法一： （）PA平面 ABCD，QAB 是 PB 在平面 ABCD 上得射影，又ABAC，AC平面 ABCD，QACPB. （）连接 BD，与 AC 相交与 O，连接 EO， ABCD 是平行四边形QO 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，EO PB.P又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，PB 平面 AEC，P（）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为，,02 2a b0,02bOCuuu r又( ,0,0),OEA
12、Cauuu ruuu rb b（0，, ）,2 20,0,OE ACOG ACuuu r uuu ruuu r uuu rgg,OEAC OGAC是二面角的平面角。EOGEACB2coscos,2OE OGEOGOE OG OG OG uuu r uuu ruuu r uuu rgQuuu r uuu r g0135 .EOG二面角的大小为EACB0135 .18. （13 分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C.则 P（A）= a，P（B）= b，P（C）= c （）应聘者用方案一考试通过的概率 11112PP A B CP A B CP A B CP A B Ca
13、bcbcaacbabcabbccaabcu ru ru r应聘者用方案二考试通过的概率2111()()()333 1()3pP A BP B CP A Cabbcca（）因为 a，b，c0， 1，所以122()23 2(1)(1)(1)03ppabbccaabcabcbcacab故 p1p2即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.19. （共 14 分） 解法一：（）由|PM|-|PN|=2知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴2长 a=.2又半焦距 c=2。故虚半轴长 b=，222ca所以 W 的方程为22 1,222xyx（）设 A、B 的坐标分别为（x1y1）
14、 ， （x2y2）.当轴时，从而。ABx1212,xxyy22 1212112OA OBx xy yxyuu u r uuu r当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去ABxABykmxW得y，2229220kxkmxm故212122222,11kmmxxx xkk所以1212121222 12122222 2 22222()()(1)()(1)(2)2 11 224211OA OBx xy yx xkxm kxmkx xkm xxmkmk mmkk k kk uu u r uuu r又因为，所以，从而.120x x 210k 2OA OBuu u r uuu r综上，当轴时，取得最小值 2.ABxOA OBuu u r u
