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1、 1 第八章第八章 多元函数微分多元函数微分学学及其应用及其应用 8-1 多元函数的概念、极限和连续性多元函数的概念、极限和连续性 一、 填空题 1. (),uf xy则u是 元函数, f是 元函数, ()f xy是 元函数, u与f (是、不是)同一个函数. 2. ( ),ug x为 定 义 在 0,1 上 的 一 元 函 数 , 若 把 它 看 成 二 元 函 数 , 则 其 定 义 域为 . 3. 10,( , )=00,xyf x yxy ， ，( , )f x y的连续点集为 . 二、单项选择题 1. 下列极限存在的是（ ）. （A） yxxyxlim )0, 0(),(； （B）y
2、xyx1lim )0, 0(),(； （C） yxxyx2)0, 0(),(lim； （D） yxxyx1sinlim )0, 0(),(. 2. 有且仅有一个间断点的函数为（ ）. （A）yx； （B）)ln(22yxex； （C）yxx ； （D）arctan(1)xy . 三、求出并画出函数11uxyxy的定义域. 四、求下列极限. 1.( , )(0,0)1 1lim x yxy xy . 2.2222 ( , )(0,0)1cos() sin()lim x yxy xy . 3. 1( , )(0,1)(1 sin)limxx yxy. 五、设22),(yxxyyxf，求( , )f
3、 x y的表达式. 六、判断 ( , )(0,0)lim x yxy xy 是否存在，并证明你的结论. 七、讨论二元函数22 22222,0,( , ) 0,0xyxyxyf x y xy ，的连续性. 2 8-2 偏偏 导导 数数 一、 填空题 1. 00(,)xyf x ( , ) 00( ,)x xdf x ydx 2. 设224xyz与平面4y 的交线在点(2,4,5)的切线与 x 轴正向的夹角是 . 3. ,ff xy 都存在，则1lim (, )( , ) nn f xyf x yn . 二、单项选择题 1. 已知0 xf，则（ ）. （A）),(yxf关于变量x单调增加 （B）0
4、),(yxf （C）022 xf（D）) 1(),(2yxyxf 2. 设xy ez ，则dz及)0 , 1 (dz分别为（ ）. （A）21(),y xeydxxdyedyx （B）edyxdyydxexxy ),(12 （C）dyxdyydxexxy ),(12 （D）dyxdyydxexxy ),(12 三、求下列函数的偏导数 1.22lnzxy； 2. dxxdssfyxFexyy102 )(),(. 四、2sin ()zaxby，求全部的二阶偏导数. 五、求42),(yxyxf在原点处的偏导数. 六、222),(zxyzxyzyxf，求) 1 , 0 , 2(),2 , 0 , 1
5、(),1 , 0 , 0(zzxxzxxfff. 七、求xyyxyxf1arctan),(在原点处的偏导数. 3 8-3 全全 微微 分分 一、 填空题 1.),(),(00yxMyxf在可微，则00( , )(,)lim( , ) x yxyf x y _. 2. 已知2222,dfxy dxx ydy则 xf_, yf_, f_. 3若(0,0)(0,0)(0,0)0xyfff且f在点（0,0）处可微，则 22( , )(0,0)( , )lim x yf x yxy . 二、单项选择题 函数),(yxf在点 P 处全微分存在的充分条件为( ). （A）f的全部二阶偏导数均连续； （B）f
6、连续； （C）f的全部一阶偏导数均存在； （D）f连续且,ff xy 都存在. 三、计算全微分 1.ln()xzyux y z. 2. sec()zxyx . 四、求221lnyxz在(1,1)处全微分. 五、已知函数( , )yzf x yx，当2,1,0.1,0.2xyxy 时，求z和 dz 的值 六、已知二元函数 ( , )f x y 0,00,1cos)(22222222yxyx yxyx求（1） ( , )(0,0)lim( , ) x yf x y ； （2）),(yxf在(0,0)处连续性； （3）)0 , 0(),0 , 0(yxff； （4）),(yxf在(0,0)是否可微？
7、 4 8-4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一、 单项选择题 1. ()uxy，写法错误的是（ ）. （A）u x ； （B）x ； （C） ()xy x ； （D）()xy. 2. ),(yxf具有一阶连续偏导数，(,)uf xy xy，则下列等式中正确的是（ ）. （A）(,)ff xy xy xx； （B）fu xx； （C）uffyxxy； （D）fffyxxy. 3. ),(yxf具有一阶连续偏导数，且),(),(xyfyxf，则（ ）. （A）),(),(/ 1/ 1xyfyxf； （B）),(),(/ 2/ 1xyfyxf； （C）),(),(/ 2/ 1yxfy
8、xf； （D）),(),(/ 2/ 2xyfyxf. 二、求下列函数的一阶偏导或全导数（其中f具有一阶连续偏导） 1. ()yzxyxfx； 2. fu (zy yx,) ； 3 . fu (xexx,2) . 三、设yxyxz)(，求yz xz ,.四、f具有连续的二阶偏导数，22(,)zf xy x y，求yxz 2. 五、设22,( )yzuxyf u，其中)(uf为可导函数，验证211 yz yz yxz x. 六、设u满足方程：0uuu xyz，作变量代换,xyxzx求证在新变量, , 下u满足方程0u . 5 8-5 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 一、填空题 1. 给定方程(
9、, , )0f x y z ,若求z x ,说明 为因变量， 、 为自变量. 2. 给定方程组：( , , )0 ( , , )0F x y z G x y z , 若求dz dx,说明 、 为因变量， 为自变量. 3. _),(22yzyxzzzxyfzx则. 二、单项选择题 1.已知),(zyxfz 具有一阶连续偏导数，且1, 0 zf zf，则)( xz. （A）xf ; （B）zfxf; （C）zfxf1; （D）zfxy yf xf 1. 2. 0 xyzez,z x_. （A）zyz exy; （B）y x; （C）2(1)zyz ze; （D）(1)z zx. 三、 设(,),.
10、zzf xz zyx yfdz是由方程所确定的的函数， 具有连续的一阶偏导，求 四、求yxz yz xzzxyzyx 2 222,) 1 , 2, 1 (0932处的在. 五、从方程组 212222vuyxvuyx中，求出,.uv xx 六、设函数xyzyzyxzxxzyyzxFyxz确定，则由方程0),(),(. 七、设函数),(yxu有二阶连续偏导数，且满足关系式2222yu xu 及xxxu)2 ,(和2)2 ,(xxxux.求)2 ,(),2 ,(),2 ,(xxuxxuxxuyyxyxx. 6 86 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、 填空题 1. 连接01(0,
11、0,1),( 1, 1,0)MM 的曲线为1,2tztytx,求在t处由1M指向0M的单位切向量为 . 2. 球面2222xyzR上任意一点),(zyx处的向外的一个法向量为 , 方向余弦为 . 二、在曲面xyzS:上求出一点，使此点处的法线与平面093zyx垂直，并写出法线 的方程. 三、曲线 10:222zyxzyx在点)0 ,21,21(0p处的切线及法平面. 四、求曲线32,tztytx上的点，使在该点的切线平行于平面42zyx. 五、求曲线22230, 23540,xyzx xyz在点) 1 , 1 , 1 (P处的切线与法平面方程. 六、证明以下各题 1. 曲面3axyz 上任一点
12、的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为定值. 2. 曲面为常数）nmnzxmzyF,(0),(上任一点的切平面与定直线平行. 7 87 方向导数与梯度方向导数与梯度 一、已知0),(21lll，以下lf 的计算式中错误的是（ ）. （A）coscosyf xflf ，其中,为l的方向角. （B）sincosyf xf lf ，其中为l与x轴正向的夹角. （C）),(),(21llyf xflf . （D）|llgradflf . 二、求22yxz 在点 M(1,2) 处沿从点A（1,2）到B（2，2+3）的方向的方向导数，并求在32下的增长率. 三、求)(12222by axz 在)2,2(
13、baM处沿曲线12222 by ax的内法线方向的方向导数. 四、xyzxyxu, 求u在点) 1, 2 , 1 (0M处的梯度，并求沿梯度方向的方向导数. 五、函数)ln(222zyxu在点)2, 2 , 1 (M处的梯度. 六、, u v均为( , )x y的二元函数，证明梯度的运算规则. 1、grad()gradgraduvuvvu. 2、grad ( )( )gradf uf uu. 8 88 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值 一、求22( , )(2 )xf x yxyy e的极值点和极值. 二、求22),(yxxyxf在1, 0, 0),(yxyxyxD上的最大值与最小值. 三、求曲面2:222yzxzzyxS的最高点，最低点. 四、用拉格朗日乘数法求函数22yxz在1by ax下的条件极值. 五、抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离. 六、求点（2,8）到抛物线2
