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1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载4.24.2 二倍角的三角函数与三角恒等式二倍角的三角函数与三角恒等式【知识网络】1.熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2二倍角公式的双向运用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用； 3三角恒等式的证明方法有： （1）从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简. （2）等式两边同时变形成同一个式子. （3）将式子变形后再证明.【典型例题】例 1(1)下列各式中，值为的是 ( )21A. sin15cos15 B. C. D.22cos112230cos15 .22tan15 .22tan2（1）D （2）若f（tanx）
2、=sin2x，则f（1）的值是 （ ）A. sin2B.1C.D. 121（2）B 提示：f（1）=ftan（） =sin=1. 4 2（3）若 270360,化简的结果是（ ）2cos21 21 21 21Asin B-sin CcosD-cos2 2 2 2（3）D（4）已知 sin+cos=，那么 sin的值为_，cos2的值为2 2 332_（4） 31 97（5） 000080cos60cos40cos20cos（5） 提示：将分子分母同乘以，然后用二倍角正弦公式可得 1 1602sin20例 2已知 sin（x）=，0x，求的值.4 135 4）（xx4cos2cos分析：角之间的
3、关系：（x）+（+x）=及2x=2（x） ，利用余角间的三角4 4 2 2 4函数的关系便可求之.七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载解：（x）+（+x）=，cos（+x）=sin（x）.4 4 2 4 4又 cos2x=sin（2x）=sin2（x）=2sin（x）cos（x） ，2 4 4 4=2cos（x）=2=. ）（xx4cos2cos 4 1312 1324例 3求证: (sincos1)(sincos1)tansin22xxxxx x解：原式=22(sin1 2sin1)(sin12sin1)22 sin2xxxxx =22(2sinco
4、s2sin)(2sincos2sin)2222224sincoscos22xxxxxxxxx= =tan.(cossin)(cossin) sin22222coscos2xxxxxxxxxxxxcos2cos2sin2sin2cos22）（xxxxcos2cos2sincos2x例 4已知，都是锐角，求223sin2sin13sin2 -2sin2 =0, 且的值.+2 解：由得 3sin2=12sin2=cos2.223sin2sin1由得 sin2=sin2.cos（+2）=coscos2sinsin23sin2 -2sin2 =023=3cossin2sinsin2=0.、（0，） ，+
5、2（0，）.23 2 23+2=.2【课内练习】1若，则等于 34x1 cos1 cos 22xx（A） （B） 2cos()42x2cos()42x（C） （D）2sin()42x2sin()42x1C七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载2函数 y=sin2x+sin x,x的值域是( )212R(A)-, (B) 21 23 21 22,21 22(C) -, (D)23 21 21 22,21 222B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3已知x（，0） ，cosx=，则 tan2x等于 （ ）2 54A.B.C.D. 247 247
6、 724 7243D4已知 tan=,则的值为（ ）2 32 sincos1sincos1 A B- C D- 32 32 23 234A 提示：222sin2sincos1 cossin222tan1 cossin22cos2sincos222 5 ，则 sin2cos0sin2cos25 提示：由已知得，7 5tan2 22sin2cos22sincoscossin2222222sincoscossin2tan1tan7 sincostan15 6已知，若，则 sin2m0,4sincos_若 , 则,4 2 sincos_6 提示：1, 1mm2(sincos )1 2sincos 1
7、sin21 m 当，当0,sincos4时,sincos4 2 时,7若,则的值为_111cossinsin2七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载7 提示：去分母后两边平方可得22 2 8已知331 cos2sin2cos(), , 45221tan求的值解：由得 3cos()45223cossin225解方程组 得 或22223cossin225 sincos1 7 2sin10 2cos10 2sin10 7 2cos10 7 2sin310cos0 222cos10 Q21 cos2sin22sin2sincos 1tan1tan 27 27 2
8、22 ()2 ()()28101010 1 775 9求值：0020210sin21)140cos1140sin3(解：原式=00202020210sin21140cos140sin140sin140cos316160sin200sin1680cos80sin200sin810sin2180sin41200sin80sin410sin21)40cos40sin()140sin140cos3)(140sin140cos3(00000002000200000010已知函数. 12sin(2)4( )cosx f xx （）求的定义域； ( )f x（）设的第四象限的角，且，求的值tan4 3 (
9、)f七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载解：（）由 得， cos0x ()2xkkZ故在定义域为( )f x,2x xkkZ（）因为，且是第四象限的角, 所以4tan3 43sin,cos,55 故 12sin(2)4( )cosf 2212(sin2cos2 )22 cos 1 sin2cos2 cos 22cos2sincos cos .2(cossin)14 5作业本A 组1 （ ）21tan 75tan75 的值为(A) (B) (D)32 332 32 C332 1C2.若（ ）43sin,cos , 2525则是A 第一象限角 B 第二象限
10、角 C 第三象限角 D 第四象限角2B 提示：，24sin2sincos222527cos2cos1225 3已知是第三象限角，且，那么等于（ ）445sincos9sin2A B C D 2 2 32 2 32 32 33A 4函数是周期为 的 函数(奇偶性)22sinsin44f xxx（）（）（）七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载4奇函数 提示： 22sin ()sin ()44f xxx（）1 cos(2)2 2x1 cos(2)2 2x sin2x5 简：= 8cos228sin1252sin4 4cos4 提示：原式22 12sin4co
11、s422(2cos 4 1)= 2|sin4 + cos4| +2|cos4| 222 (sin4cos4)2 cos 4 sin4 + cos4 0 cos4 0)23,(4原式= 2(sin4 + cos4) 2cos4 = 2sin4 4cos46 知，求 sin4 的值),2(,61)4sin()4sin(解： 61)4sin()4sin( 31)4cos()4sin(2 cos2 =31)4(2sin 31又 2 (, 2),2(sin2 = 322)31(12cos122sin4 = 2sin2cos2 = 924 31)322(27已知 是三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值
12、范围12sin2cos2sin2cos2222aaa解：原式变形：1)2sin2(cos)2sin2(cos2222aa即，显然 （若，则 0 = 2）1cos) 1(aa1a1a 又，11cosaa 301cos21即： 解之得：111 21aa3a8求证：的值是与 无关的定值)6(sin)3cos(cossin22七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载证： )3cos(cos)23cos(1 21)2cos1 (21原式)sin3sincos3(coscos2cos)23cos(212113(coscos2sinsin2cos2 )coscossin23322131131cos2sin2cos2(1 cos2 )sin2442444的值与 无关)6(sin)3cos(cossin22B 组1已知的值为 （ ）31sin , , tan() , tan(2 )522则A B C D 24 77
