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1、2012 年全国高中数学联赛模拟试题（年全国高中数学联赛模拟试题（7）一、填空题： 1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点 和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为 .2. 在圆4cos上有两点 A，B，它们的极角分别是2,55；由极点向直线AB 作垂线，垂足为 H，则 H 点的极坐标是 . 3. A , B 为锐角，则 cos 2 A + cos 2 B = 47)(sinBA 成立的充要条件是 .4. 一含有五项的等比数列，每一项都是小于 100 的正整数，这五项和为 211， 则这个数列中为完全平方数的项之和为 .5. 锐角ABC中，AD是高线，
2、 4ABAC2 17=17，4517,BCADABC的面积为 . 6对任意实数 k，曲线 x 4 + k x 3 y6 x 2 y 2k x y 3 + y 4 = 0 总可把圆 x 2 + y 2 = 1 分成 等分 . 7. 数 N = 20101(21)kk的末三位数是 .8. 已知方程 x37x2+1=0 的最大实根为 t，则t2000 被 7 除的余数_. 二、解答题： 9. 已知三棱锥 BCD 在顶点 A 处的三个面角（ 即 BAC，CAD，DAB ）分别为 75，90，105；从这个顶点引三个侧面的高均为 1，求这个棱锥的高. 10用 1，2，3 这三个数字构造 n 位数，但不允
3、许两个 1 相邻，能构造多少个 这样的 n 位数？ 11. 已知抛物线 C 1 : y = x 2 + 2 x 和 C 2 : y =x 2 + a .如果直线 l 同时是 C 1和 C 2 的切线，称 l 是 C 1和 C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公 切线段 . a 取什么值时，C 1和 C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 若 C 1和 C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 .加试模拟题1. 设ABC 中，E、F 是 AC、AB 边上的任意点，O、O分别是ABC、AEF 的外心，P、Q 是 BE、CF 上的点，满足BP PEFQ QC22BF CE
4、.求证：OO PQ .OPQOCBAFE2. 求证：求证：ln(1)n111 231n L11lnn, n=1,2,n=1,2, ; ;3. 对于给定的正整数 k ，以 f 1 ( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方；并设 f n + 1 ( k ) = f 1 f n ( k ) ，n = 1 , 2 , 3 , ; 试求 f 2010 ( 2 2009 ) 的值.4某种彩票的对奖号是个三位数（000 999） ，开出的中奖号也是个三位 数买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖 号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为 123，对奖号为 423 或 183 或 125 等）则中二等奖为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？
