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1、1新新 知知 杯杯 模模 拟拟 试试 题题一、填空题（第 1-5 小题每题 8 分，第 6-10 题每题 10 分，共 90 分）1.对于任意实数，定义=，已知，则实数的值ba,babbaa )(5 .285 . 2aa是_。2.在三角形 ABC 中，是大于 1 的整数，其中，aCAaBCbAB2122ba,则 。 ab3.一个平行四边形可以被分成 92 个边长为 1 的正三角形，它的周长可能是 。4.已知关于的方程有实根，并且所有实根x02)2()3(2234kxkxkxx的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。5.如图，直角三角形中，为斜边ABC1AC2BCP 上一动点。,，则线段长的最小A
2、BBCPE CAPF EF 值为 。6.设是方程的两个根，是方程的两个根，ba,01682xxdc，01862xx则的值为 。dbdacbca7.在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延1 , 1P2 , 2Q1 kxyPQ长线相交（交点不包括） ，则实数的取值范围是 。 Qk8.方程的所有整数解有 组。2009xyz9.如图，四边形中,。设ABCDCDBCABo78ABCo162BCD延长线交于，则_.BCAD,EAEBFECBAP2EDCBAFEDCBA10. 如图，在直角梯形中，,ABCDo90BCDABC,点在上，使得是正三角10 BCABMBCADM形，则与的面积和是ABMDC
3、M _。二、 （本题 15 分）如图，中，,点在上，使得ABCo90ACBDCA并且求的长。，31ADCD，BACBDC3BCDCABEDCAB三、 （本题 15 分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字abcd2cdababcd可以是 0。cDABCM3四、 （本题 15 分）正整数满足以下条件：任意个大于 1 且不超过 2009 的两两互素的正nn 整数中，至少有一个素数，求最小的。n五、 （本题 15 分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。ba,22baba 与ba, 试找出一对无理数，使得是和谐的；ba, 证明：若是和谐的，且是不等于 1 的有理数，则都是有理数；ba,bab
4、a, 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。ba,baba,4新知杯模拟试题（参考答案）新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第 1-5 小题每题 8 分，第 6-10 题每题 10 分，共 90 分）1.对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是ba,babbaa )(5 .285 . 2aa_。【答案】4 或213【解析】，5 .285 . 25 . 2aa265 . 22aa052522 aa，所以或04132aa4a2132.在三角形 ABC 中，是大于 1 的整数，其中，aCAaBCbAB2122ba,则 。 ab 【答案】0【解析 1】若，即矛盾aaabab21) 1(1,22
5、2则.CABCAB若，则，即矛盾，ab aaabab21) 1(1, 1222CABCAB0ab【解析 2】是大于 1 的整数，所以，此时，Qba,2a0222aaaaCABC，即，CABCABCABCQaabaa212222，即，即22211abaaba1ab 0 ab3.一个平行四边形可以被分成 92 个边长为 1 的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50，94【解析】设两边长分别为和，则，所以周长为xy922xy23246146xy或9446125023224.已知关于的方程有实根，并且所有实根x02)2()3(2234kxkxkxx的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5
6、【解析】原方程可化为，02, 0)(2(222xxkxxxxQ02kxx，即2kQ022xx1, 221xx5142 22 1 xx5.如图，直角三角形中，为斜边上一动点。,ABC1AC2BCPABBCPE ，则线段长的最小值为 。CAPF EF5FECBAP【答案】552【解析】设，则，所以，xCF yEC BCBE CAEP22 1yxxy22，当，54 545485)22(2 222222 xxxxxyxEF54x时，最小。52y552 54EF6.设是方程的两个根，是方程的两个根，ba,01682xxdc，01862xx则的值为 。dbdacbca【答案】2772【解析】，68baQ1
7、ab86 dc1cddbdacbca2222681681)()()(ddccddbaabccbaab277215418)6886)(6886(cdddcc7.在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长1 , 1P2 , 2Q1 kxyPQ线相交（交点不包括） ，则实数的取值范围是 。 Qk【答案】31 23 k【解析】， 31 12121k 32 12022k23 31k8.方程的所有整数解有 组。2009xyz【答案】72【解析】4149141772009111728720096正整数解 6+3+3+6=18 组，非正整数解 183=54 组，共 72 组9.如图，四边形中,。设ABC
8、DCDBCABo78ABCo162BCD延长线交于，则_.BCAD,EAEBEDCBAFEDCBA【答案】21o【解析】作，易知，四边形为平行四边形，AFBCFCABABCF，102180ABCFCBBAFo60102162FCD是等边三角形，即为等腰三角形，,CDFAFD1386078AFDo21FAEAEB10. 如图，在直角梯形中，,点在ABCDo90BCDABC10 BCABM上，使得是正三角形，则与的面积和是BCADMABMDCM _。DABCMDABHCM【答案】3150300【解析】将图补成正方形，易知，令，则ABMAHDxHDBM，由勾股定理得，解得xCMCD102222101
9、010xxx，31020x 315030010310213102010212S二、 （本题 15 分）如图，中，,点在上，使得ABCo90ACBDCA并且求的长。，31ADCD，BACBDC3BCDCABEDCAB【答案】。11114BC7【解析】设，则作的平分线交于点xBC ，16122xABxBDDBAAC，BE，则,所以EAABDCDBADBE21 21BDEADB，由角平分线定理可知，DEDADEBD32因此。BDABBDDEBDABBD DEAEDE ABBD AEDE 3解得。， 116191 222 2 xxxx11114 xBC三、 （本题 15 分）求所有满足下列条件的四位数
10、：，其中数字abcd2cdababcd可以是 0。c【答案】3025,2025,9801abcd【解析】设，则由题意得，即abx cdy 2100yxyx，因为为整数，0100222yyxyxx，2224992500441002tyyyytty505099，且在 100 内 11 的倍数只有 9 个，经验证，时，500 tQ49t1y时，解得，因此，5t25y 198 yx 2520 yx 2530 yx3025,2025,9801abcd四、 （本题 15 分）正整数满足以下条件：任意个大于 1 且不超过 2009 的两两互素的正nn 整数中，至少有一个素数，求最小的。n【解析】由于这 14
11、 个合数都小于2222222222222243,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7 ,5 ,3 ,22009 且两两互质，因此。而 n=15 时，我们取 15 个不超过 2009 的互质合数的最小素因子则必有一个素数不失一般性，设1521,aaaLL,1521pppLL,47由于是合数的最小素因子，因此矛盾。所以，4715p15p15a，20094722 1515 pa任意 15 个大于 1 且不超过 2009 的互质整数中至少有一个素数。综上所述，1521,aaaLLn 最小是 15。五、 （本题 15 分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。ba,22baba
12、与ba,8 试找出一对无理数，使得是和谐的；ba, 证明：若是和谐的，且是不等于 1 的有理数，则都是有理数；ba,baba, 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。ba,baba,【解析】 不难验证是和谐的。 221,212),(ba 由已知是有理数，是有理数，所以 122babababatsba，解得是有理数，所以也是有理数。1batba）（121 stsaasb若，则是有理数，因此也是有理数。若，02babab22bbaa02ba由已知是有理数，也是有理数，因此，故 1)1)()1()(222 bbabbababaxbay 112xyxy b是有理数，因此也是有理数。xyxyb2122)(bbaa
