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1、与整数相关的含参数方程的根问题与整数相关的含参数方程的根问题本讲适合初中纵观近几年国内外各类初中数学竞赛， 与整数相关的含参数函数、方程的整系数 或整根问题常有出现，主要表现在三个方 面：（1）已知方程含整根，求实系数问题. （2）已知整系数方程、方程实根分布情况 求整系数.(3)整系数、整根问题.在解决这 一系列问题的时,常会用到下列知识与处理 技巧:(1)韦达定理,根的判别式,abxx21.acbabacxx4,442221(2)若为正整数常数, 仍为整数,则kxk为的因数.xk(3) 1)(1(1byaxbyaxabxy(4)对于整数,若,则,ba、ba 1 ba 若,则.ba 1 ba
2、(5)若整数系数方程有有理根,则为完全 平方数.(6)系数含参数的方程中,若系数和为 0,则 1 为方程的根.下面从三个方面进行说明:1. 整根、实系数问题.例 1.设关于的二次方程x22)86(xkk的两根都是整数，22(264)4kkxk求满足条件的所有实数的值。(2000 年全k 国初中数学竞赛)讲解:设方程的两根为,由韦达定理21xx、得: 42242 ) 6)(2(6202 86462623461 42864222121 2221kkkkkkkkkxxxxk kkkkkkxx将代入消参数得: k,则0112 11242212121xxxxxx,则=24)11( ,12) 1(2121
3、xxxx121xx,又 ,则12, 6, 4, 3, 2, 1 24)11(21xx代入检验得仅有与-5 时12121xx为整数,当时, 112421xx1321xx,此时方程的0,不满足题意.当521 xx时, ,方程为521xx421 xx,0542 xx1, 521xx.36235k评注:凡出现含参数的实系数整根方程的题 目时,常利用韦达定理将系数参数消掉转化为关于的代数式为整数问题后，用21xx、数的整除原则来处理.例 2: 试确定一切有理数 r，使得关于 x 的 方程 rx2+(r+2)x+r-1=0 有且只有整数根. （2002 年全国初中数学竞赛）讲解：（1）若 r=0，x=，原
4、方程无整数21根（2）当 r0 时，x1+x2= =, r2r r21x1x2=,两式结合消去 r 得：r1r r114x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7，由 x1、x2是整数得：r=，r=1.31评注:消实参数后,此类问题一般转化为r含二个变量的不定方程的整根问题,21xx、利用因式分解求解. )(dbycaxcdbcyadxabxy其中关键是根据,的系数进行分解.xyyx,2. 整系数、有理根相关问题.例 3: 当 x 为何有理数时，代数式 9x2+23x- 2 的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998 年山东数学竞赛试题）讲解:设此二正偶数分别为,则2
5、,kk,即关于的整)2(22392kkxxk系数方程=0 有)2239(222xxkk有理根, ,则存在整数 使1823 xl,由为正222 1) 1(9423lkk整数,则均为整数, l与,则1135565)66(22kl或或11366 566 kl kl56566 166 kl kl59 8 l k或,所以46 283 l k294112xx1791312xx的值可为,2,-17.x913 941评注:整系数方程的有理根问题,从判别式入手,由为完全平方数,通过分解acb42因式穷举,逼近求解.例 4:已知为整数，方程cb,的两根都大于1 且小于052cbxx0，求和的值。(1999 年全国
6、初中数学cb联赛)讲解:由题意我们可以画出函数的大致图象,x-10令,则cbxxxf25)(0 ( 1) 0 (0) 01010f f b 220 1 4 010bc c c b b )4(202 1 491bb c bcb 2010 20202b cb5b.1,2025cc评注:对于二次函数根的分布问题,一般可 根据函数的开口方向,根的分布范围所在的 端点处的函数值的正负,对称轴所在的范围及得到参数应满足的条件. 对于整0 数的大小关系常用性质(4)进行更为准确的 放缩后用穷举法解决问题. 3.整系数、整根问题.例 5: k 为什么整数时，方程的解都是整数.(1995 年上东数学竞赛试题)讲
7、解:(1) 时, .(2) 时, 6k2x9k .(3)当时,设方程的两3x96kk且根为,则，21xx、)9)(6(15117)9)(6(542121kkkxxkkxx由都是整数，则21,xx1)9)(6(54kk，则，将54)9)(6(kk150 k的各整数值代入后，仅有k)9)(6(15117 kkk=3 时为整数，此时k)9)(6(15117 kkk3, 121xx综上所述, 的值可为 6、9、-3.k 评注:此题由于判别式的形式比较复杂,若 讨论为完全平方数比较麻烦,由韦达定理消掉似乎无从下手, 的次数又为二次,用kk 常用方法似乎都行不通,所以我们利用根均为整数对整个范围进行估计,
8、求出的范围k 后,用穷举法检验求出的值.k 例 6:求一切实数,使得三次方程p的pxpxpx661) 171() 1(5523三个根都是自然数.(全国高中数学联赛) 讲解:仔细观察发现方程的系数和为恰为 0, 是方程的根，1x，即0) 1665512ppxxx）（的根为自然数，从0166552ppxx而转化为二次函数根为整数问题，所以为自然数，消有 pxx pxx21215166pp，则0)(66152121xxxx，192294351)665)(665(21xx由为整数，则21xx、229665 1966512 x x=76，也可将视为主元，1x2xp，再讨论取何值时为整xxp566512x
9、p数.也可由为完全平方数求的值.p 评注：此题从表面上看是实数.但由韦达p 定理很容易发现为自然数.对于整系数整p 根问题可以用判别式为完全平方数 、消参 数转化为不定方程处理.当参数的次数为一 次且为整数时，转化为以参数为主元的一 次方程整根处理的方法求解判定参数的值.练习题练习题1.是大于零的实数,已知存在唯一的实数a ,使得关于的方程：kx的两01999)(222akkxakkx根为质数,求 a 的值.（全国初中数学竞赛）(提示:由 消掉参,1999x .,x2 212 21 akkxakkx数后分解因数处理 .)ak,2. 已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有
10、两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于 1，求a+b+c的最小值 （1996年全国初 中数学联赛）(提示:由例 4 的方法先估计的范围)cba,3.已知方程的根都0324622nnxx是整数，求整数.（2004 年全国初中数学n 联赛）(提示: 由为完全平方数分解的因式) 4.试求所有的整数 a，使得关于 x 的一元二 次方程0)94(8265222aaxaax的两根皆为整数.（中等数学 2007 年第十期）(提示:由及为完全平方数)21xx4.设 m 是整数，且方程 3x2mx2=0 的两根都大于而小于，则59 73m=_.(2003 年全国初中数学联赛) (提示:由,及及0 9(
11、)05f 3( )07f对称轴范围先求出的范围)m6. 关于 x 的方程有有0112xkkx理根，求整数 k 的值.（2001 年全国初中数 学联赛） (提示:由为完全平方数分解因式处理求 的值)k 7.已知是正整数，如果关于的方程ax的根056)38()17(23xaxax都是整数，求的值及方程的整数根.(2007a 年全国初中数学联赛)(提示:由是方程的根转化为二次方程11x的整系数整根问题,类似例 6 的方法) 8. 设是正整数，如果二次函数a和反比例axaxy710)232(22函数的图象有公共整点（横坐xay311标和纵坐标都是整数的点），求的值和a 对应的公共整点.(2007 年全国初中数学联 赛) (提示:将已知两函数联立方程组后得到关于 的三次方程,将三次方程分解为 x,转0311)12() 12(2axaxx化为整系数整根问题.或得到三次方程0113)710()232(223axaxax后,将视为主元看成关于的一次函数,aa 时,不是整数,3xa=32222310113273xxxxaxx时，,只需讨论为整数时相56153xx56 3x 应的值是否整数即可.) y
