《2014届高考数学一轮必备考情分析学案：5.1《平面向量的概念及线性运算》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮必备考情分析学案：5.1《平面向量的概念及线性运算》（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.15.1 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算考情分析考情分析平面向量的线性运算，共线问题独立命题较少，多与平面向量基本定理、坐标 运算及数量积应用相结合，属中低档题，题型多为选择题、填空题。基础知识基础知识1向量的有关概念 (1)向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量注意向量和数量的区别，向 量常用有向线段来表示(2)零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，零向量的方向是任意的.0r(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量ABuuu r是)|AB ABuuu r uuu r(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量
2、有传递 性(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零的向量，向量叫做平行, a br r向量，记作：，规定零向量和任何向量平行/abrr注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量 平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但 两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性；三点 A、B、C 共线共线,AB ACuuu r uuu r(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量a 的相反向量是a. 2向量的表示方法(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在ABuuu r后 (2)符号表示法：用一个小写的英文字母来
3、表示，如 a，b，c 等 3向量的线性运算 （1）向量的加法：求两个向量的和的运算，叫向量的加法 向量加法满足交换律 abba、结合律(ab)ca(bc) 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则(即首尾相接，连首尾) (2)向量的减法：与向量 a 方向相反且等长的向量，叫做 a 的相反向量，记为 a，a(a)0；向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做向量的减法，即向量 a 减去向量 b.向量减法可以使用三角形法则，即“共起点，连终点，方向指向被 减向量” 4实数与向量的积实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|，(2)当0 时，a 的方向与 a 的
4、方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方 向相反；当0 时，a0，注意：a.0r运算律： (a)（）a () aaa (ab)ab5向量平行(共线)的充要条件： abab(b0). 6向量垂直的充要条件： ab |ab|ab|。 7向量中的一些常用的结论来源:学*科*网 Z*X*X*K (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用 (2)|a|b|ab|a|b|，特别地，当 a、b 同向时 |ab|a|b|a|b|ab|；当 a、b 反向时 |ab|a|b|a|b|ab|；当 a、b 不共线|a|b|ab|a|b|(这些 和实数比较类似) 注意事项1.一般地，首尾顺次相接的多个
5、向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2.(1)向量共线的充要条件中要注意“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合题型一 平面向量的概念【例 1】下列命题中正确的是( )来源:学#科#网Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向
6、量不平行解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a与 b 都是非零向量，故选 C.答案 C【变式 1】 给出下列命题：若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABC
7、D 为平行四边形ABDC的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 a 与 b 均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析 正确，错误答案 题型二 平面向量的线性运算【例 2】2设设 P 是是ABC 所在平面内的一点，所在平面内的一点，2，则，则( )BCu uu uu u r r BAu uu uu u r rBPu uu uu u r rA0 B0PAu uu u u u r rPBu uu uu u r rPCu uu uu u r r PAu uu u u u r rC0 D0PBu uu uu u r rPCu uu u
8、u u r r PAu uu u u u r rPBu uu uu u r rPCu uu uu u r r解析：解析：如如图图，根据向量加法的几何意，根据向量加法的几何意义义2P 是是 AC 的中点，故的中点，故BCu uu uu u r r BAu uu uu u r rBPu uu uu u r r0.PAu uu u u u r rPCu uu uu u r r答案：答案：B【变式 2】 在ABC 中，c，b，若点 D 满足2，则ABACBDDCAD( ) A. b c B. c b 23135323C. b c D. b c23131323解析 2，2()，BDDCADABACAD3
9、2ADACAB b c.AD23AC13AB2313答案 A题型三 共线向量定理及其应用【例 3】设向量设向量 e1，e2不共线，不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，ABu uu uu u r rCBu uu u u u r r CDu uu uu u r r给出下列结论：给出下列结论：A、B、C 共线；共线；A、B、D 共线；共线；B、C、D 共线；共线；A、C、D 共线，其中所有正确结论的序号为共线，其中所有正确结论的序号为_解析：解析：4e12e2， ，3e1，由向量共，由向量共线线的充的充ACu uu uu u r r ABu uu uu u r rCBu uu u u u
10、r r BDu uu uu u r rCDu uu uu u r r CBu uu u u u r r要条件要条件 ba(a0)可得可得 A、 、C、 、D 共共线线，而其他，而其他 无解无解来源来源:学科网学科网答案：答案：【变式 3】已知 a，b 是不共线的向量，ab，ab(，R)，那ABAC么 A，B，C 三点共线的充要条件是( )A2 B1C1 D1解析 由ab，ab(，R)及 A，B，C 三点共线得：t ，所ABACABAC以 abt(ab)tatb，即可得Error!Error!所以 1.故选 D.答案 D 巩固提高一、选择题1. 设 e1，e2是两个不共线的向量，且 ae1e2与
11、 b e2e1共线，则13实数 ( )A. 1 B. 3C. D. 1313答案：D解析：ae1e2与 b e2e1共线，存在实数 t，使得 bta，即13 e2e1t(e1e2)， e2e1te1te2，t1，t ，即 ，故选 D.131313132. 给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；ABBA两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量一定是共线向量其中不正确命题的个数为( )A. 1 B. 2C. 3 D. 4答案：A解析：对于，在ABC 中，与有公共终点 A，但不是共线向量，故BACA错正确，
12、故选 A.3.若四边形 ABCD 满足0，()0，则该四边形一定是ABCDABADAC( )A. 直角梯形 B. 菱形C. 矩形 D. 正方形答案：B解析：由0 知，ABCDABDC即 ABCD，ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形又()0，0，即 ACBD，ABADACDBAC因此四边形 ABCD 是菱形，故选 B.4.设 M 是ABC 所在平面内的一点，2，则( )BCBABMA. 0 B. 0MAMBMCMAC. 0 D. 0MBMCMAMBMC答案：B解析：2，BCBABM2，MCMBMAMBBM即220.来源:学科网 ZXXKMAMCBMMB5.非零不共线向量，且 2xy，若(R)，则点OAOBOPOAOBPAABQ(x，y)的轨迹方程是( )A. xy20 B. 2xy10C. x2y20 D. 2xy20答案：A解析：得()PAABOAOPOBOA即(1)OPOAOB又 2xyOPOAOBError!Error!消去 ，得 xy2，故选 A.6.已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若23，则的值为OAOCOB|BC|AB|( )A. B. 1213C. D. 1416答案：A解析：23，OAOCOB22，即 2，OCOBOBOABCAB2|， .来源:学.科.网 Z.X.X.KBCAB|BC|AB|12
