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1、1空间向量知识点归纳总结空间向量知识点归纳总结知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。;OBOAABabuuu ruu u ruuu rvrBAOAOBabuu u ruu u ruuu rrr()OPaRuuu rr运算律：加法交换律：abbavvvr加法结合律：)()(cbacbavvvvrv数乘分配律：babavvv
2、v )(3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。arbrbarv/当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是arbrarbrarbr同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（） ，/存在实数 ，使arbrbr0rarbr。arbr4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实, a brrpr, a brr数使。, x ypxaybrrr5
3、. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个, ,a b crrrpr唯一的有序实数组，使。, ,x y zpxaybzcrrrr若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空, ,a b crrr , , a b crrr, ,a b crrr间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实, , ,O A B CP数，使。, ,x y zOPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：2在空间直角坐标系中，对空间任一
4、点，存在唯一的有序实数组，OxyzA( , , )x y z使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，zkyixiOA( , , )x y zAOxyz记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。( , , )A x y zxyz（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，1用表示。 , , i j kr r r（3）空间向量的直角坐标运算律：若，则，123(,)aa a ar123( ,)bb b br112233(,)abab ab abrr， 112233(,)abab ab abrr123(,)()aaaaRr，1 1223 3a baba ba br
5、r， 112233/,()abab ab abRrr。1 1223 30ababa ba brr若，则。111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。（4）模长公式：若，123(,)aa a ar123( ,)bb b br则，222 123|aa aaaarr r222 123|bb bbbbrr r（5）夹角公式：。1 1223 3222222 123123cos| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrr（6）两点间的距离公式：若，
6、111( ,)A x y z222(,)B xyz则，2222 212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r或 222 ,212121()()()A Bdxxyyzz7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作, a brrO，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,OAa OBbuu u ruuu rrrAOBarbr, a brr，显然有；若，则称与互相垂直，记作：0, a brr,a bb arrrr,2a brrarbr。abrr（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：OAauu u rrOAuu u r
7、ar。|ar（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记, a brr| | cos,aba brrrr, a brr3作，即。a brra brr| | cos,aba brrrr（4）空间向量数量积的性质：。|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r（5）空间向量数量积运算律：。（交换律） 。()()()aba babrrrrrra bb arrrr（分配律） 。()abca ba crrrrrr r【典型例题典型例题】例 1. 已知平行六面体 ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向DCBA 量。； ； ABBCuuu ruuu rABADA
8、Auuu ruuu ruuu r； 。1 2ABADCCuuu ruuu ruuu u r1()3ABADAAuuu ruuu ruuu rGM例 2. 对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式： O, ,A B C（其中）的四点是否共面？ OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r1xyz, , ,P A B C例 3. 已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，OABC,OB AC,M N,OA BC点在线段上，且，用基底向量表示向量。GMN2MGGN,OA OB OCuu u r uuu r uuu rOGuuu r4例 4. 如图，在空间四边形中，OABC8OA
9、 6AB 4AC 5BC ，求与的夹角的余弦值。45OACo60OABoOABCO A B C 说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，,135OA ACouu u r uuu r,45OA ACouu u r uuu r切记！ 例 5. 长方体中，为与的交点，为1111ABCDABC D4ABBCE11AC11B DF与的交点，又，求长方体的高。1BC1BCAFBE1BB【模拟试题模拟试题】 1. 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列ABCD,AC BD,M G,BC CD各表达式，并标出化简结果向量：（1）； ABBCCDuuu ruuu ruuu r（2）； （3）。1()
10、2ABBDBCuuu ruuu ruuu r1()2AGABACuuu ruuu ruuu r52. 已知平行四边形 ABCD，从平面外一点引向量。ACO。,OEkOA OFkOB OGkOC OHkODuuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuuruuu r（1）求证：四点共面；,E F G H（2）平面平面。AC/EG3. 如图正方体中，求与所成角的余1111ABCDABC D1111111 4B ED FAB1BE1DF弦。4. 已知空间三点 A（0，2，3） ，B（2，1，6） ，C（1，1，5） 。求以向量为一组邻边的平行四边形的面积 S；,AB ACuu
11、u r uuu r若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标。ar,AB ACuuu r uuu rar3ar65. 已知平行六面体中，ABCDA B C D ，4,3,5,90ABADAABADo，求的长。60BAADAA oAC7参考答案 1. 解：如图， （1）；ABBCCDACCDADuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（2）。111()222ABBDBCABBCBDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r；ABBMMGAGuuu ruuu u ruuu u ruuu r（3）。1()2AGABACAGAMMGuuu ruuu ruuu ruu
12、u ruuuu ruuu u r2. 解：（1）证明：四边形是平行四边形，ABCDACABADuuu ruuu ruuu r，EGOGOEuuu ruuu ruuu r()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEHuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuu r共面；,E F G H（2）解：，又，()EFOFOEk OBOAk ABuuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu rEGk AC
13、uuu ruuu r。/,/EFAB EGAC所以，平面平面。/ACEG3. 解：不妨设正方体棱长为 ，建立空间直角坐标系，1Oxyz则， ，(1,1,0)B13(1,1)4E(0,0,0)D11(0,1)4F，11(0,1)4BE uuu u r11(0,1)4DF uuu u r，1117 4BEDFuuu u ruuu u r。1111150 0() 1 14416BEDF uuu u r uuu u r8。1115 1516cos,171717 44BE DFuuu u r uuu u r4. 分析：1( 2, 1,3),(1, 3,2),cos2|AB ACABACBACABAC u
14、uu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQBAC60，|sin607 3SABACouuu ruuu r设（x，y，z） ，则ar230,aABxyz uuu rr222320,|33aACxyzaxyzuuu rrr解得 xyz1 或 xyz1，（1，1，1）或（1，1，1） 。arar5. 解：22|()ACABADAAuuu u ruuu ruuu ruuu r222|222ABADAAAB ADAB AAAD AAuuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r2224352 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60 ooo16925020 1585所以，。|85AC uuu u r
