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1、- 1 -2011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学(文文)(北京卷北京卷)第一部分第一部分(选择题选择题 共共 40 分分)一、一、选择题共选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题列出四个选项中，选出分。在每小题列出四个选项中，选出 符合题目要求的一项。符合题目要求的一项。(1)已知全集 U=R，集合，那么 ( )21Px xPCU(A)() (B)() (C)(-1，1) (D), 1 1, 11U(2)复数( )2 12i i(A) (B ) (C) (D)ii43 55i43 55i(3)如果，那么( )11 22
2、loglog0xy(A) (B) (C) (D)1yx1xy1xy1yx(4)若是真命题，是假命题，则( )pq(A)是真命题 (B)是假命题 pqpq(C)是真命题 (D)是真命题pq(5)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )(A)32 (B)16+16 2(C)48 (D)1632 2(6)执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则 输出的 P 值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(7)某车间分批生产某种产品，每- 2 -批的生产准备费用为 800 元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件x8x产品每天的仓储费用为 1 元。为使平均到每件产品的生产准
3、备费用与仓储费用之 和最小，每批应生产产品( ) (A)60 件 (B)80 件 (C)100 件 (D)120 件(8)已知点。若点在函数的图象上，则使得的面积为0,2 ,2,0ABC2yxABCV2 的点的个数为( )C (A)4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分第二部分(非选择题非选择题 共共 110 分分)二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。(9)在中，若，则 .ABC15,sin43bBAa (10)已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .2 2 21(0)yxbb2yxb (11)已知向量。若与 ，共线，则= .( 3,1),(
4、0 1),( , 3)abck2abck(12)在等比数列中，若则公比 ； . na141,4,2aaq 12naaa(13)已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， )2( ,) 1()2( ,2 )(3xxxxxfx( )f xk则实数的取值范围是 . k(14)设R)。记为平行四边形 ABCD 内部(不(0,0), (4,0),(4,3),( ,3)(ABC tD tt( )N t含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 (0)N； 的所有可能取值为 。 ( )N t三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。
5、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分)已知函数( )4cos sin() 1.6f xxx()求的最小正周期；( )f x()求在区间上的最大值和最小值。( )f x,6 4 (16)(本小题共 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模- 3 -糊，无法确认，在图中经 X 表示。 ()如果 X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；()如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率。 (注：注：方差其中为，的平_ 2222 121()()() ,nsxxxnxxx_x1x2x
6、nx均数) (17)(本小题共 14 分)如图，在四面体中，PABC,PCAB PABC点分别是棱的中点。,D E F G,AP AC BC PB()求证：平面；DEBCP()求证：四边形为矩形；DEFG( )是否存在点，到四面体六条棱的中点 的距离相等？说明理由。QPABC(18)(本小题共 13 分)已知函数。( )()xf xxk e()求的单调区间；( )f x()求在区间上的最小值。( )f x0,1(19)(本小题共 14 分)已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率2222:1(0)xyGabab6 3(2 2,0)为 1 的直线 与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为lG,A
7、BAB。( 3,2)P - 4 -()求椭圆的方程；G()求的面积。PAB(20)(本小题共 13 分)若数列满足 ，则称为数列。12,:,(2)nA a aa n1kkaa (1,2,1)knnAE记。12() nnS Aaaa()写出一个数列满足；E5A130aa()若，证明：数列是递增数列的充要条件是；112,2000anEnA2011na ()在的数列中，求使得成立的的最小值。 14a EnA()0nS An- 5 -2011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学(文文)(北京卷北京卷)参考答案与解析参考答案与解析第一部分第一部分(选择题选择题 共共 4
8、0 分分)(1)【解析】：，故选 D2111xx PCU 11U(2)【解析】：，选 A。22i2(i2)(1 2i)2242( 1)24 12i(12i)(1 2i)1 41 4( 1)iiiiiii(3)【解析】：，即故选 D11 22loglogxyxy1 2log01yy1yx(4)【解析】：或()一真必真，且()一假必假，非()真假相反，故选 D(5)【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为 4，高为 2 的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选 B。2 2214 2 24416 16 22 (6)【答案】C【解析】执行三次循环，成立，12SA 1 12p 1131122SP 成立，
9、成立，322SA2 13p 313111 2236SP1126SA，不成立，输出，故选 C3 14p 11111125 66412Sp25212SA4p (7)- 6 -(8)第二部分第二部分(非选择题非选择题 共共 110 分分)(9)【答案】325【解析】：由正弦定理得又所以sinsinab AB15,sin43bBA(10)【答案】255 2,13sin34aa【解析】：由得渐近线的方程为即，由一条2 2 21yxb2 2 20yxybxb ybx 渐近线的方程为得22yxb (11)【答案】1【解析】：由与 共线得2( 3,3)abrr2abrrcr3331kk(12)【答案】2 21
10、21n【解析】：由是等比数列得，又 所以 na3 41aa q141,4,2aa31422qq1 12(1) 1nnaqaaaq11(1 2 )1221 22nn (13)【答案】(0，1)- 7 -【解析】单调递减且值域为(0,1，单调递增且2( )(2)f xxx3( )(1) (2)f xxx值域为，有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是(0,1)。(,1)( )f xk(14)【答案】6 6，7，8，【解析】：在, , 时分别对应点为 6,8 ,7。在平面直角坐标系中0t 302t 3 2t 画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；设与ABCDABx(1,2)yk k边的交点为
11、，与 边的交点为，四边形内部(不包括边界)的ADkABCkBABCD整点都在线段上，线段上的整点有 3 个或 4 个，所kkA B| | 4kkA BABQkkA B以，不难求得点，3 2( )4 28N t1( ,1)3tA22(,2)3tA当 为型整数时，都是整点，t3n( )6N t 当 为型整数时，都不是整点，t31n1A2A( )8N t 当 为型整数时，都不是整点，(以上表述中为整数)上上t32n1A2A( )8N t n面面 3 种情形涵概了种情形涵概了 的所有整数取值，所以的值域为6，7，8 t( )N t三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字
12、说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分)【解析】：()因为1)6sin(cos4)(xxxf1)cos21sin23(cos4xxx所以的最小正周期1cos22sin32xxxx2cos2sin3)62sin(2x)(xf为()因为于是，当时，.32 626,46xx所以6,262xx即取得最大值 2；当取得最小值1)(xf)(,6,662xfxx时即(16)(本小题共 13 分) 【解析】：()当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是： 8，8，9，10，所以平均数为;435 410988x方差为.1611)43510(
13、)4359()4358(412222s()记甲组四名同学为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为- 8 -9，9，11，11；乙组四名同学为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)， (A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A2，B2)，(A3，B3)，(A1，B4)，(A4，B1)， (A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用 C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这
14、一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为.41 164)(CP(17)(本小题共 14 分) 【解析】：证明：()因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DE/PC。又因为 DE平面 BCP，所以 DE/平面 BCP。()因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DE/PC/FG，DG/AB/EF。所以四边形 DEFG 为平行 四边形，又因为 PCAB，所以 DEDG，所以四边形 DEFG 为矩形。()存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF，EG，设 Q为 EG 的中点由()知，DFE
