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1、,预测数据库,知识数据库,技能数据库,2.5 二次函数与幂函数,1二次函数是高中数学的重要内容历年高考中多以二次函数为载体，考查数形结合及等价转化、函数与方程的思想2复习时要重点把握二次函数的性质及应用，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的综合问题，联系图象掌握二次函数的性质、二次函数实根的分布问题及二次函数在指定区间求参数取值范围问题，幂函数基本概念等3本节内容在高考中对基础知识的考查多以选择、填空题为主，对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次函数方程、不等式相结合的综合性较强的解答题所以在教学过程中，要重视培养学生的解题能力和效率4教学中教师可以适当增加关于二次函数例题的讲解若不足，可
2、从经典例题备选中补充，对“预测数据库”所列习题中，基础题要求学生全部做完，但其中难度较大的题，不要求所有学生都能完成,2.5 二次函数与幂函数,高考问题1：考查二次函数的性质及应用以含参数的二次函数在指定区间上的最值为命题对象，结合二次函数性质对参数进行合理分类讨论是解题关键高考问题2：用函数研究方程和不等式利用数形结合、化归与转化、函数与方程的方法解决二次函数、二次方程、二次不等式的综合问题，解题关键是用函数研究方程和不等式，多为综合性较强的中档偏难题高考问题3：二次函数与其他初等函数的综合问题以常见的五种幂函数为命题对象，涉及求值、单调性、奇偶性、最值等问题，一般为选择、填空题中的容易题,
3、1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：yax2bxc(a0)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)a(xk)2h(a0)零点式：若二次函数图象与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质,1(2010年辽宁模拟)若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd，在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是()(A)dcba.(B)abcd.(C)dcab. (D)abdc.【解析】令x2，显然有2a2b2c2d，即abcd，选B.【答案】B,2(2010年通州模拟)若函数f(x
4、)x2ax(aR)，则下列结论正确的是()(A)aR，f(x)是偶函数(B)aR，f(x)是奇函数(C)aR，f(x)在(0，)上是增函数(D)aR，f(x)在(0，)上是减函数【解析】当a0时，f(x)x2为偶函数，在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数；,3(2010年吉林市普通中学模拟)当x(0，)时，幂函数y(m2m1)xm1为减函数，则实数m_.4(2010年南京模拟)已知函数f(x)x22x，xa，b的值域为1,3，则ba的取值范围是_【解析】由f(x)(x1)211，知1a，b，令x22x3，则x3，1，所以1a1,1b3，故2ba4.【答案】2,4,例1试求二次函数f(x)
5、x22ax3在区间1,2上的最小值【指点迷津】二次函数图象的对称轴为xa，要求函数在区间1,2上的最小值就需要看对称轴与1,2的位置关系，为此需结合二次函数的图象对a进行分类讨论【解析】f(x)x22ax3(xa)23a2，当a2，即a2时，函数在区间1,2上为减函数，故此时最小值为f(2)4a7；当1a2，即2a1时，函数的最小值为f(-a)-a23；当a1，即a1时，函数在区间1,2上为增函数，故此时最小值为f(1)2a4.,综上：当a2时，最小值为4a7；当2a1时，最小值为a23；当a1时，最小值为2a4.【点评】 求二次函数的值域或最值，常用方法是配方法.二次函数在给定闭区间上的最值
6、在顶点或区间端点处取得，如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图象利用二次函数的单调性处理.,例2已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为x|1x3(1)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围【指点迷津】利用不等式的解集与方程根的关系进行求解【解析】f(x)2x0的解集为x|1x3，可设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a(a0)，(1)由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.方程有
7、两个相等的根，(24a)24a9a0，,【点评】 解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的关系.二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.,能力训练2已知函数f(x)xb的图象与g(x)x23x2的图象相切，F(x)f(x)g(x)(1)求实数b的值以及函数F(
8、x)的极值；(2)若关于x的方程F(x)k恰有三个不同的实数根，求实数k的取值范围【解析】(1)依题意知，在切点处有f(x)g(x)，得12x3，故x1，函数f(x)的图象与g(x)的图象的切点为(1,0)，将切点坐标代入函数f(x)xb，得b1，于是F(x)f(x)g(x)x34x25x2，故F(x)3x28x5.令F(x)3x28x50，得x1或x ，,列表如下：,由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(1,1)与(1,1)当x1或x1时，f(x)g(x)；当x1或x1时，f(x)g(x)；当1x1且x0时，f(x)g(x)【点评】 幂函数的定义以及幂函数的性质是解决这类问题的基础与关
9、键，有时一一验证反而显得简单，运算时注意幂运算的性质.,1注意数形结合，密切联系图象是研究掌握二次函数性质的基本方法二次函数f(x)ax2bxc的图象开口方向、顶点坐标、对称轴等是处理二次函数问题的重要依据2二次函数、一元二次方程和不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，用函数思想研究方程和不等式才是抓住了问题的关键3对于二次函数的根的分布问题，需要结合二次函数的图象，从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴x 与区间端点的关系来确定在某给定范围内的充要条件，设f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)0的实根分布如下表：,例1某旅游点有50辆自行车
10、供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？,基础过关1(2010年广州市育才中学模拟)已知函数f(x)3ax2bx5ab是偶函数，且其定义域为6a1，a，则ab等于()(A) .(
11、B)1.(C)1.(D)7.,3(2010年哈尔滨模拟)已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m_.【解析】由已知，有m22m30，得1m3，又mN*，所以m1,2，当m1时，yx4关于y轴对称，故m取2.【答案】24(2010年江苏扬州模拟)对于在区间a，b上有意义的两个函数m(x)与n(x)，如果对于区间a，b中的任意x均有|m(x)n(x)|1，则称m(x)与n(x)在a，b上是“密切函数”，a，b称为“密切区间”，若函数m(x)x23x4与n(x)2x3在区间a，b上是“密切函数”，则ba的最大值为_【解析】令|(x23x4)(2x3)|1，解得2
12、x3，故ba1.【答案】1,5(2010年北京模拟)已知函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值,8(2010年四川模拟)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为_,9(2010年南通模拟)函数f(x)mx2x1在(0,1)内恰有一个零点，则实数m的取值范围是_【解析】由已知f(0)f(1)0，解得m2.【答案】(2，),拓展探究11(2010年兰州模拟)已知函数f(x)|x22axb|(xR)，则下列命题中正确的是_f(x)是偶函数；当f(0)f(2)时，f(x)的图象必关于直线x1对称；若a2b0，则f(x)在区间a，)上是增函数；f(x)
13、有最大值|a2b|.【解析】要使f(x)是偶函数，则a0，排除；当函数g(x)x22axb与x轴有两个交点时，则f(x)|x22axb|的图象上对应同一函数值的自变量x会出现四个，故当f(0)f(2)时，f(x)的图象不一定关于直线x1对称，排除；当a2b0时，函数g(x) x22axb的判别式4(a2b)0，则f(x)的图象开口向上，与x,轴最多有一个交点，在区间a，)上是增函数，正确；由于f(x)的图象开口向上，故无最大值，排除.【答案】12(2010年上海市高三模拟)经济学中，定义Mf(x)f(x1)f(x)为函数f(x)的边际函数某企业每月最多生产100台报警系统装置已知每生产x台(x
14、N)的收入函数为R(x)3000x20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)500x4000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数P(x)及其边际函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际函数MP(x)是否具有相等的最大值？请说明理由；(3)你认为本题中边际函数MP(x)的实际意义是什么？,【解析】(1)利润函数P(x)R(x)C(x)3000x20x2500x400020x22500x4000，x1,100，xN.边际函数MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22500(x1)400020x22500x400040x2480，x1,100，xN.(2)P(x)20x22500x400020(x62.5)274125，x1,100，xN.当x62或63时，利润函数P(x)都取得最大值，最大值为74120元而MP(x)40x2480，x1,100，xN.,
