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1、2 0 1 3 年 1 2月 命题感悟 一题多变探“ 均值不等式 命题 江苏省赣榆高级 中学郭新祝 一题多变就是对同一道题多次改变条件或结论 ， 达 到举一反三、 触类旁通的目的， 培养学生思维的深刻性 和灵活性 牛顿说过 ： “ 没有大胆的猜想 ， 就做不出伟大 的发现 ”因此 ，教学中可以通过问题所提供的结构特 征 ， 鼓励 、 引导学生大胆地猜想， 以培养学生的创造性思 维 对一道题进行变式训练 ， 不仅可以克服思维定势 ， 培 养创造性 的思维能力 ， 而且有利于掌握某一类问题的解 法 ， 锻炼举一反三的能力 ， 从而提高学习效率 这也正是 新课标所倡导的 下面以均值不等式命题为例 ，
2、 以求抛砖 引玉 均值不等式： 当a ， b 都为正数 ， 且 为定值时， 有a+ b 12 、 ( 定值) ， 当且仅当 6 时取“ = ” 号 ， 此时a + b 有最 小 值； 当 口 + 6 为 定 值 时， 有 f 1 ( 定 值) ， 当 且 仅 当 a = b 时取“ = ” 号， 此时 有最大值 一、隐藏定值 条件 对问题的条件进行多角度变式， 是一题多变的重要类 型之一 ， 主要包括直接给出条件、 隐含给出条件 ， 或将条件 与其他知识进行交汇， 进而提高学生的应变能力 1 1 例1 已 tl x O ， y 0 ， J _ x + 3 y = l ， 则 + 的最小值为 分
3、析 1 ： 因为 1 + 3 ， ， ， 所 以 + 1：x+3 y+_x + 3 y：3_y+ x 3 x 33 “x 1 + +1 =3y+ + 2 t4 ， 当且仅当 = 三 时， 等号成立 ， 又 3 v 3 v 。 。 3 y + 3y = 1 ，所 以 = ，y ： 吉 时 等 号 成 立 分 析2： 1+ 1 = ( + 1 ) = ( + 3y ) ( + ) = 孚 + 1 + 三 + 1 ： + + 2 4 ，当且仅当 ： 羔 时， 等号成立 ， 又 3 y 3 v 。 3 , y + 3 y = 1 ，所 以 = 丢 ，y = 时 等 号 成 立 变式1 ： 已知 0 ，
4、 ) ， 0 ， I g + I g 8 ： 1 g 2 ， 则 + 的最小 jV 坛 线 值为一 分析： l g T + l g 8 r = l g 2 ， 得l g 2 X + Y = l g 2 ， l l x + 3 y = l ， 则 + 1：x+3 y+x+-3 y： 1 + + + 1 14 ， 当且仅当 ： 时， 等 J y 3 v 3 y 3 y 号成立 ， 又卅3 y = 1 ， 所 以x 1， y=吉 时 等 号 成 立 变式2 ： 函y = l o g , ,x + 3 ( a 0 ， 口 1 ) 的图像恒过定点A， 若点A 在直线m x + n y 一 1 - 0 J
5、 l ， 其 中m n 0 ， 则 + 的最小 值为一 分析 ：易知 函数y = l o g a X + 3( a O ， a 1 )恒过定点 ( 1 ， 3 ) ， 0 m + 3 n = l ， 同上问题得解 变式3 ： 设a O ， b O 若、 了是3 a 与2 7 的等 比中项 ， 则 + 的最小值为 分析： 由已知得( 、 了 ) 2 = 3 n 2 7 ， a + 3 b = 1 ， 进而问题 得解 评析 ： 在 数 学教 学 中 运用“ 一题 多变” 的训练方 法 。 沟通知识 的纵 向和横 向联 系 拓宽 了学生的解题思路 培 养和发展 了学生的概括能 力和创新 能力 在 高
6、三复 习过 程 中， 通过 开展 “ 一题 多变” ， 启发教 学， 不但 能 帮学生建 构知识体 系 而且培养 了学生各种 思维能力 著 名的数学 教 育家G 波利 亚曾形象地指 出： “ 好 问题 同某种蘑菇有些 相像 ， 它们都成 堆地生 长 ， 找 到一个 以后 ， 你应 当在 周 围 找一找 很 可能附近 就有好 几个 ” 二 、 改变问题成 立的条件 每个性质 、 公式、 定理的应用都有其成立的条件 ， 在 条件不成立处设置陷阱也是一题多变的一种重要形式 ， 均值不等式的成立必须满足 “ 一正” “ 二定” “ 三相等” ， 三 个条件缺一不可，故一题多变可从此三个条件中进行问 题
7、的变式训练， 以提高学生的应变能力 例2 函数y = e 4 e 的最小值为 分析 ： 易知函数的定义域为R， y = e + 4 e - X = e X + e 高 中 版中。 擞? 鑫一 2013年 12月 4：4 ， 当且仅当 ：4， ：l 2 时等号成立 V e e 变式1 ： 求函数 + 的值域 错 解 ：y + 4 2 、 - 4 ，当 且 仅 当 4 ， = 2 时 ， 等号成立 剖析： 错解忽视了均值不等式成立“ 正” 的条件 ， 即只 有 当x O H ， 才可直接利用其求解 本题没有规定x O ， 所 以求函数的值域应3 Y x O 与x O t 寸 ， y + 4 2 _
8、 4 ，当 且 仅 当 4 ， 2 时， 等号成立 当 x O ， 故 y = s i 眦 + 4 剖析： y = s i 眦+ 一 I4 ，等号成立的条件是 i 似： ， s i n 2 x = 4 显然不成立， 故本题求解应利用“ 对号” 函数的单 调性， 易知在s i n x ( 0 1 内， 函数单调递减 ， 故最小值在 s i n x ： 1 ， ： 处取得， 最小值为5 评析 ： 如 果对一 些 内涵 比较 丰富的题 目不作适 当引 伸 、 拓 展 组 织教 学 ， 很 多学生 的 学 习会 处 于“ 知其 然 而 不知 所 以然 ” 的状 况 ， 对知 识 的 掌握 缺 乏 系统
9、 性 ， 很 难 对付 “ 能 力立 意” 的 高考 试题 因此 在 紧张的 高三复 习 中， 有必要提 倡 以“ 一题 多变” 的形 式组织教 学， 从 “ 变” 濑 中? 耋 幺 ? 高 中 版 中总 结解题 方法 ， 从 “ 变” 中发现 解题规 律 ， 从 “ 变” 中发 现 “ 不 变” ， 引导 学 生 多思 多想 ， 养 成在 学 中求异 ， 学 中 求 变的 习惯 ， 使 学生 学一道 题 ， 会 一 类题 ， 加 深 对 问题 实质 的理解 和掌握 ， 增 强应 变能 力 ， 建构 知识 的条 理性 和 系 统 性 三 、 改变 问题背景 例3 已知正数a 、 b 满足3 +
10、 。 + 6 = 1 ， 则 的最大值是 分析： 据均值不等式a + b 2 、 ， 将等式3 + 。 + 6 ： 1 左边的n + 6 换成2 、 ， 则“ = ” 变为“ ” ， 3 3 a b + 2 1 ， 设 x 7 = t ( t O ) ， 得3 t + 2 t 一 1 0 ， 解 得0 12 “ c ， 所 以2 n c 4 ， 所以凹1 0 ， ( 当n ： c = 、 T 时等号成立) 所以AA B C 面积的最大值为3 评析 ： 要做 好“ 一题 多变” ， 首先要做好 选“ 题 ” 工作 ， 这要 求教 师课外要做 足功夫 通过博 览群 书 钻研教材 中 的典型例题 、 习题 ， 历年各地高考试题 、 模拟试题 ， 新 的课 程 标准 、 考纲等 内容 ， 然后精 心挑 选题 目， 认 真 比较 、 总 结、 反 思和探 索 ， 才能在课堂上 ， 站在 全局 的高度上去把 握相 关的知识 ， 提 高复 习的针对性和有效性 ， 这 正如 宋朝 大文学 家苏轼 的名 言“ 博观 而约取 厚积而薄发 ”
