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1、近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。相对分析而言， 近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象 思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体 数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。下列几点可以在学习和复习时留意。1 透彻理解运算的概念和性质。运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算 的某种集合。运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。运 算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺 序，这种数学结
2、构很少有实际意义。因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性 质。交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生； 但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。分配律描 述 2 种运算直接关系。运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但 不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或 逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。2 把握住同构和同态。近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运 算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。代数结构相同的确切描述就
3、是同构， 2 个集合间保持运算的双射。更弱些，只保持运算的映射称为同态。所谓保持运算，是指 先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。有些情形，同态满射本身也是个 有用的概念。因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。但学了群论就 会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有 抽象的有限群的性质。3 对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。子结构的核心要求是运算的封闭性 和特殊元的存在性。与子结构相关的还有等价分类和扩张等。这样，就能理解群论中的陪 集和商群、环论中的理想和商环、域论中的扩域等。当年我对数学的肤浅理解，认为深刻就是抽象
4、。因此比较喜欢形式化的东西。对抽象代数 非常感兴趣，看的书多，做的题目也多。教材是用张禾瑞的近世代数基础 。篇幅比较小，内容也不多，习题少而且不难，认真的学生很容易都做 1 遍。上课的是位学问很好的老先生，学校仅有的少数副教授之 1。传说 是曾肯成的学生。不过，我这种非常感兴趣的学生都难以欣赏老先生的学问，对其他人可 能更是白讲了。我自己主要参考的是吴品三的近似代数 。作者与张禾瑞先生都是北京师范大学的。我感 觉该教材青出于蓝。最大的优点是例题习题组织的好，特别是习题，量比较大，而且有难 度梯度。我记得习题基本都做了。如果非说缺点，就是启发性方面差些，引入许多结构， 让人只知其然不知其所以然。
5、另 1 本我挺喜欢的书是武汉大学熊全淹先生的近似代数 。与前面 2 本纯粹的教材有些不 同，有些像专著，因为该书每章有参考文献。虽然这些文献我 1 篇也没有看，但感觉还是 很好。该书习题不多，但有些有答案或提示，比前 2 本教材更教材。该书内容比前 2 本也 多些，但比较深的内容我都没有仔细看。国外最接近教材的是 Jacobson 的 3 卷本的第 1 册，用的是文革前的汉译本。后来也有修订 版的影印本，但没有特别仔细看。老译本在教学法方面与张禾瑞的书接近，内容当然要多 些。说实话，我并不是很欣赏，只是觉得例子所涉及的数学背景知识似乎稍多些。新版本 Basic Algebra 1 在习题方面有
6、很大改进，到底作者是 Yale 的教授。我觉得是很好的入门书， 但可惜当时我已经有比做习题更有意思的事情了。还翻过 Van der Waerden 的名著代数学 。我买的版本还没有列入“数学名著译丛”。我对 书的优劣似乎有本能的感觉，看到这本书，就感觉是本伟大的书。但读过前面些内容，感 觉自己的数学成熟性还差些火候。就暂时没有下功夫攻读。在这种研究生层次上的代数教 材还翻过 2 本。1 本是俄国群论专家库洛什的一般代数学讲义 ，另 1 本是吉林大学谢邦 杰先生的抽象代数学 。前者面比较广，似乎不是很难。谢先生的书对我而言过于艰深， 第 1 章有些集合论的内容如选择公理就把我难住了。我最喜欢的代
7、数书是 Birkhoff 和 Mac Lane 的近世代数概论 ，人民教育出版社有分成上 下册的汉译本。该书不是严格意义上的近世代数，只讨论群、环、域等抽象结构。是用抽 象观点写的代数学，还包括数、多项式、线性空间、矩阵、变换、行列式、标准型等，基 本上相当于国内的高等代数和近世代数。习题很多，有 1300 多道。多数不是很难。我曾想 把题目都解 1 遍，本子都准备好了，但还是没有做。很长时间，我都把该书当成某种枕中 秘籍，有空就看看。似乎还看过盗版的影印英文版。近年也出了合法的影印本，我也买了 本。这样本给过带来快乐的书，更不用说 2 位大师级的作者，应该有这样的礼遇。只是，该书明明只是第 4 版，国内版本悍然宣称是第 5 版。附：数学专业参考书整理推荐 5：代数 2近世代数：不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数 学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。1近世代数引论冯克勤2近世代数熊全淹3代数学莫宗坚4代数学引论聂灵沼5近世代数盛德成
