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1、 试题 ： 如图 1 ， AA B C是 正三角形， 曲线 C D E F叫做 正三 角形的渐开线， 其 中 一一 F C D、 D E、 E F的 圆心依 次是 A 、 B、 C， 如果A B=1 ， 那么曲 线 C D E F的长是 一 前 攉 t tl 童 点塞鎏 学蔓墼 图1 解 析 AA B C是正三 角形 ， 所 以 C D 、 、D E、E F、 的 圆心角都是 1 2 0 。 ， 半径分别是 1 、 2 、 3 ， 利用弧长的计算 公式求得三条弧长， 三条弧的和就是所求曲线的长 即 一C D= ， 同理： D E= ， = 以 曲线 c D 的长为面1 2 0 r L 1 +
2、2 + 3 ) = 4 丌 故填 4 盯 思考： 1 在原题条件下， 若按照这样一直循环 F去， 记C D、 D E、 E F 的长分别为 f l 、 1 2 、 l 3 、 l ， 那么 l l + l 2 + + + l 的长度如何? 由z = 面n w R，可得 。 + z ： + f 3 + z = 面1 2 0 ,n “ L 1 + 2+ 3+ L+ )： 由此结果 ， 又引发了下面的思 考 ： 2 若把原题中的“ 正三角形” 替换为“ 正 n边形( 13 ) ” ， 其他条件不变， 这些曲线的长又如何? 3 6 o 一盯 由上述分析， 可得 f 一 + l + l z + + l
3、= - i - if 6 - ( 1 + 2 + 3+ + ) =( n+1 ) 1 T 于是可将其推广到一般 ， 形成结论 ： 设正 n边形 ( n 13 ) 边长为 o ， 它的渐开线形成的曲线长为( n+1 ) 耵 。 利用此结论能迅速解答类似的问题 ， 下面举例说明 结论应 用 ： 心依次按 A, B、 C 、 D、 E循 图3 环， 它们依次相连结 如果 A B=1 ， 那么曲线 E F G H I J的 长度为( 结果保留 ) 解析正五边形边长为 1 ， 即 。=1 ， n= 5， 直接代入 公式： ( n+1 ) 盯 8=( 5+1 ) 叮 r 1 = 6 w， 故填 6 竹 (
4、 下转 2 1页) 囊 蠡 一 一-一 一 一一 一一 一一 + ；。 +。+；+。 +。+。+ +。+；。+。+；+效掌大世界 。 一 + 。 + 。 。 + 。 + 。 注要掌握和应用反比例 系数 k的几何意义， 如图 3 ， 点 L P是双曲线 Y= ( k O ) 上任 互 意一点 ， 过 点 P作 P M上 轴于 点 ， 作 P 上Y 轴于点 ， 设点 P的坐标是 ( a ， b ) ， 则 删= l bI ， PN ： I aI ， S 矩形P =PM PN = l bI I aI = I b I l M 0 ， 图3 点 P在双曲线 y： 生 上， 6 ： ， 得 0 6： 戈
5、a 故 s 矩 形 P MO N= ， s M。=l l k 1 例 3如 图 4 ， 双 曲 线 = 告 ( o ) 经 过 R t A O A B 斜边 O A的中点 D， 且与直角边 A B相交于点 c若点 A 的坐标为(一 6 ， 4 ) ， 求 AA O C的面积 析 解 S o c=S A A 一 Js 伽 。 点 A的坐标是(一 6 ， 4 ) B O=I 一6 l =6 ， A B： 4， s 册 =B O A B = 6 4 =1 2 点 D是线段 A O的中 点 点 D的坐标为(一 3 ， 2 ) ， J 曰 0 ， 又 点 D 在 双 曲 线 ，= 上 ， k = x y
6、=f- 3 ) x 2=- 6 点 c 也 在 双 曲 线 y = 上 ， C B _I_ 轴 ， 由 五 的 几 何 意义， 知 s A C O B I k l = 1I 一61 ：3， 例 4已 知 两 个 反 比 例 函 数 ， = 和 y = 在 第 一 象限内 的图象如图5 所示， 点尸 在 = 。 的图象上， P c _L x 轴 于 点 c ， 交 y = 的 图 象 于 点 A ， P D 上 y 轴 于 点 D ，交 y = 的 图 象 于 点 曰 ， 当 点 A P C 的 中 点 时 ， 试 说 明 占 B一 县 P D 的 中 占 析 J 日 年设 点 的 坐 称 力
7、( 口 ， 生 )，则点 c ( ， 0 ) 由A是 P C的中点 ， 知点 A 的 坐 标 是 ( 。 ，去 ) _ 点 A在双曲线 Y： 1 上 _ ： 一 1，解得 k： 2 2一0 一 7 | I k D 一 0 C ： 图5 Y= 点 P的坐标为( 0 ， 三 ) 由肋 上Y轴于点 n D， 知点 D( O ， 土 ) 点 在线段 加 上， 设点 B的坐标 n 为 ( m ， ) ，又 点 曰 在 双 曲 线 Y ： 上 ， 把 = m ，)， = 口 代 入 y ： 中 ，得 ： 一 1 ， 解 得 m ： 争 ，m 0 点 曰 的 坐 标 为 ( 号， ) 根据点 P ( ， )
8、 ， 点 D( O ， ) ， 得线 - 段P D的中 点 ! 坐 标 是 ( 号， ) ， 而 线 段 的 中 点 是 唯 一 的 ， 所 以 点 曰 一 定是 P D的中点 ( 上 接 5 O页 ) 例3 如 图 4 ， 一 个正 1 边 形 的边 长 为 2 ， 曲线 A 叫做这个正 n 边形渐近线， 其中弧 A B ， 、 B ， B 2 、 的圆心依次按 A ， 、 A 、 A ， 循环， 它们依次相连 结 ， 当曲线 A 曰。 B 3 K B 之和为 1 8 1 r ， 则 1 , = 一 解析根据上述结论得 l 8 订：( n+1 ) ， 把 n=2 代入得 1 8 -u= 2 ( 1, +1 ) 1 T ， 解得 1, = 8 故填 8 从以上 的例子可 以看出， 适当地总结一些结论 ， 并运用 这样的结论解题 ， 一方面能加 深对问题的理解 ， 启迪智慧， 开 阔视野 ， 同时， 也提高了我们的 解题能力 。+ 疆 v教掌大世界 。 _ 。 -
