《120[1].围绕基本数学思想巧解含参不等式()》由会员分享，可在线阅读，更多相关《120[1].围绕基本数学思想巧解含参不等式()（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 0 2 年第1 1 期中学数学研究围绕基本数学思想巧解含参不等式南京师大第二附属高 级中学 ( 2 1 1 9 0 0 ) 尤新建解含参数不等式是高考常见题型， 因为其 方法灵活、 综合性强、 涉及面广、 计算量大， 自 然 成为中学数学教学的重点与难点之一 但经过 研究可以发现， 只要我们紧紧围绕中学数学的基本数学思想方法， 就一定能找到顺利解决的 有效途径. 本文就从转化与化归、 数形结合、 分 类讨论、 函数与方程思想四个方面加以讨论.一、 转化与化归: 主要利用等价转化思想，工 土 z+兰 土 x+x 土 理 y)4 ( x+- v +. y十z z十xx = 0 时， a =
2、 b 二 。 ， 定理5 成立; x 0 时， 由 文【 4 可得x+y) 中 ， 取x 二 b + c , y = 十 a , z = a + b ，可 a - b + b - c + c 叫- ai s 丫 口口 T “- a( a + b ) ( b + c ) ( c + a )3-2才曰a 门 宁 手- b+ cb c 卞- 了 ， 了 卞 c十 a a 十 b)2 (b+c+c+ a 2 a+b+c 2 b+c+aa+b ，门二 尸 - -尸 一 一 罗， 丁 i _Lc十 a 十 b =又2 a+2 b b+cc+a+2 c a+b2 ( t + 丑 ) +t 1 1 8 涯 +
3、 1 1 ,综上， 可得.I a一b .b一c。宁宁 a+ b b+ cc 一 Qc十 a 2 a b十+b2 b c+aa+b+b+c+ c+a+，1 火 . 尸气万=8 , 1 2+1 1专 ( 8一 “ 2 c a+b.3 ， 卞 又 . 多o.乙 因此， 定理4 成立. 注4 本定理的 获得可 追溯到拙文【 3 . 定理5 若a , b , c 为三角形三边长， 则 a 一 b. b 一 。. 。 一 a 1 一 .一一 ，代 丁 宁 丁 ， 甲 -一 个 Il a+b b+c c+a ，1， 。仄 又 n气 VY乙一 1 1 )I证 不妨设a = b + x , b 0 ) ， 则:
4、 x ( 因为b + c ac +tx( x 0 , t b +x ) 。综上， 定理5 成立.注5 拙文 4 是这一类不等式 研究的 示 例.参考文献 1 l 龚浩生， 宋庆. I M 0 4 2 一 2 的推广， 中学数学，2 0 0 2 , 1 .【 幻宋庆一个新的 几何不等式. 中 学数学， 1 9 9 5 , 6 . 3 ) 宋庆一 个不等式的简洁证明. 中学数学，1 9 9 9 , 1 1 . 4 J 宋庆. 数学问 题4 4 8 . 数学教学， 1 9 9 8 , 3 .2 0 .中学数学研究2 0 0 2 年第1 1 期化归为基本不等式， 如一元二次不等式等， 然后 加以解决.
5、例1 若x E ( 0 , 1 ) , f ( x ) =4 s +1 常数 aE ( 2 ,昔)， 解关于x的 不 等 式 f ( x ) 粤 .几 解 :， (二 ) 贵 ， 即 4 + l 1 ( 1 )因 为4 x + 1 l , x 0 所以 ( 1 ) 可等 价转化 为4 x 一 .l - 2 x + 1 O ， 解不等式f ( x ) Cl .解 : 要f ( x ) 0 ) ,令g i ( x ) = 石 弈 几， 它 的 图 象 是 双曲 线 少 一 x 2 一 1 的 上 半 支 ，令g 2 ( x ) = a x + 1 ， 它的图 象是直线y 二 a x+1 ( a 0
6、 ) ,1 - ,12 - 421 时， 直线 9 2 ( x ) = a x 十 1 的斜率大于 双曲线渐近线y =x的斜 _ 几 + 丫 .1 2 - 4 ， _ 1又 ， 一 一又一一一 一 -气 乙乙所以 _ _ 从十 万2 - 4。 。li t、 、 一一一 一下二。 FN乙0 0 时， 双曲 线上 半支在 直线9 2 ( x ) = a x + 1 的下方， 即有f ( x ) - O .( 2 ) 当0 0 )， 孟 土石2 - 4 ， 且 。 9 之 - 一Zc .评注: 本题利用题设条件将原不等式等价 转 化为( G ) ， 即化归为一元二次不等式的 解， 是 解决本题的关键
7、.与 双 曲 线y 2 一 x 2 = 1交点横坐标为x 1 = 0 ,的上半支有两个交点， 其x 2 =丁 ， 一 下 泛 ，1 “由图象看出，例2 设函数f ( x ) =x 2 +1 x+1一 a x , x E( 一1 , + 0 0 ) ， 其中a O . 解不 等式f ( x ) 一1 , 所以， 当0 1 时， 不等式解集为I x I x O I .评注: 本题形式 为分式不等式， 由 于题设保 证x + 1 0 ， 从而顺利实施去 分母， 等价转化为当 0 0 , a 护1 ) .解: 原不等式等价于2 1 2 0 0 2 年第1 1 期中学数学研究3 lo g a x 一 2
8、 0 ,3 lo g a x 一 2 0 .四、 函数与方程思想:例 6对 满 足 不 等 式 ; 2 1 .: . ( 1 ) 当: 1 时 ， 不 等 式 解 集 是 川砖 簇 x 。 ;( 2 ) 当。 1 或0 O 且a Ol ， 函数f ( x ) 二 : ， 则 原 不 等 式 化 为 :、x - 3x + 3 ， 若 二 任 m , ” ) ， 总 郁+ 、 九 一 ，0 得 函 数 定 义 域 为 : x E ( -工T J，1刀忿 又 -，1 。 。 二 mt 不， N N0 0 ， 一 3 ) U( 3 , + 0 0 ) .又 . = 1一在( 一0 0 ， 一3 ) 和
9、 m t 2 一 ，7 刀刀忍、， J ，. 月 、 、 1即m 鸭( x + 1 ) 言 ， 得 不 等 式 解 集 为 : ! x 12 - m 一 1 x 2 - m评注: 这一含参数的不等式讨论的对象为m， 当 经换元转化为( 二 ) 后， 须比较m大小关系， 才能确定解集区间.与 工的+ 00) 上分别都是减函数.a 1 时， f ( x ) 在( 一 00 ， 一 3 ) 和( 3 ， 十 00) 上都是增函数. : m 3 . 又 . n 一 1 0 , . . m 3 .: f ( x ) 在x m, n ) 上为减函 数，n一3， ， 、 /. . . t o g a 骊 甲
10、干 亏 - T l x ) z:z io g am 一3 m +3 2 2 中学数学研究2 0 0 2 年第1 1 期配 置 对 偶 式 证 明 不 等 式J -r 东省苹县一中 ( 2 5 2 4 0 0 ) 李维夺邹朝权在证明一些不等式时， 针对题中 式子A的 结构特点， 配上一个与A有内在联系的式子B ( 称为A的对偶式) ， 利用A, B之间的运算作 为桥梁， 可促使问 题的转化和解决. 这种方法证 明 不等式， 思路独特， 事半功倍， 其关键是如何 确定式子A的对偶式B . 现举例说明常用的配 偶手段.1 . 倒序配偶例1已 知。 ， 。 都 是 正 实 数 ， 且 工 + 平 -
11、， 。 一， ， ， ，n r i + + - r v ， 一 a b1 ， 试i o寸 每一个正整数n ， 有( a +b ) ” 一 a “ 一( 1 9 8 8 年全国高中数学联赛题)1.乏知 +们川七Cb “ )2 2 ” 一 2证明 C l,a ” 一 1 6 +A=( a+b ) ” 一a ” 一b “ ” 一 2 b 2 +C “ - ia b ” 一 1 ， BC “ 一 la b ” 一 I + C ; 一 2a 2 b ” 一 2 + + C ,l a ” 一 b ,显然A= B . 两式相加得2 A= C 蕊 ( a ” 一 b + a b ” 一 ) + C 已 ( a
12、 ” 一 2 b 2 + a 2 b n - 2 ) +矶一 1 ( a b ” 一 I +a ” 一 1 b ) 2 了 a n b n ( C n + C 2n + + 嘿一 ) = 2 ( 。 。 ) 翌 ( 2 n - 2 ) .而由 已 知 条件易 得a b 4 , . A 4 2 ( 2 n - 2 ) = 2 2 ” 一 2 n + i .即原不等式成立.2 . 和差配偶例2 已 知a , b , c , d E R , a 2 + b 2 + c 2 + d 2 3 ,2 a g ( 3 ) 0 , =1 + l o g . ( n一 1 ) =( 1 ) = ( 2 。 一
13、1 ) 2 一 1 2 a ( 1 一 。 ) 0 . l o g o a ( n 一 1 ) ，m 一3 m +3。入 ，。八 ， , 2 - 乃 掩 尺产 西月 rp 1 ,- f V a 一 ,.峪 l o g .= 1 + lo g . ( m一 1 ) = 咙a a ( m一 1 ) ( 2 )此即指方程lo g .x一3 x+3= lo g a a ( x 一 1 ) 在x E( 3 , +00) 上有相异的两个实数根， 又可等 价转化为方程: a x e + ( 2 a 一 1 ) x+ 3 ( 1 一 a ) = 0 有两个大于3 的相异实根.令a x e + ( 2 a 一 1 ) x + 3 ( 1 一 。 ) = g ( x ) ， 则 有评注: 本题从不等式中 搜寻等式构造方程， 是经过深入分析( 1 ) , ( 2 ) 式结构特点， 抓住主要 矛盾， 即一个主元( 变量) ， 起到很好的转化效 果.以上各例分别围绕四大数学基本思想给出 了 各自 解法， 每 题各有 侧 重， 旨 在归 纳 解含 参数 不等式的一般解法与基本出发点. 当然在同一 间题中多种思想方法并用的局面是很常见的， 如等价转化的思想就一直贯串于解不等式的始 终. 这就要求学生必须全面掌握基本的数学思 想方法， 并能将它们融会贯通地使用， 才能真正 解决好每一个问题.2 3
