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1、历年历年(95-10)年全国初中数学竞赛年全国初中数学竞赛(联赛联赛)分类题型详解分类题型详解-几何几何(3)计算题(9道题)1、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1，A=900，点 E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FEBE，求CEF 的面积。ABCEF1998 年全国数学联赛试卷解法1 过C作CDCE与EF的延长线交于D，ABE+AEB=90， CED+AEB=90， ABE=CED 于是RtABECED，又ECF=DCF=45，所以，CF是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相 等解法2 作FHCE于H，设FH=hABE+AEB=90， FEH+AEB=90， A
2、BE=FEH RtEHFRtBAE即EH=2h，又HC=FH， 2如图，已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的圆 O，对角线 AC 是直径，对角线 AC 和 BD 的交点是 P，AB=BD，且 PC=0.6，求四边形 ABCD 的周长1999 年全国初中数学竞赛解：设圆心为 O，连接 BO 并延长交 AD 于 HAB=BD，O 是圆心， BHAD 又ADC=90， BHCD 从而OPBCPD ， CD=1 于是 AD= 又 OH=CD=，于是 AB=， BC= 所以，四边形 ABCD 的周长为 3、如图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E，A
3、EEC，ABAE，且 BD2，求四边形 ABCD 的面积。232000 全国初中数学竞赛试题解：由题设得 AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而 ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则 BHHD。3OH1，AHOAOH211。，E 是 AC 的中点，4如图所示，O 的直径的长是关于 x 的二次方程（k 是整数）的0)2(22kxkx最大整数根. P 是O 外一点，过点 P 作O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点B，C 是直线 PBC 与O 的交点.若 PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求的值.
4、 222PCPBPAB O P A C 2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题解：设方程的两个根0)2(22kxkx为，.由根与系数的关系得1x2x1x2x， kxx2421. kxx21B O C P A 由题设及知，都是整数. 从，消去 k，得1x2x，422121xxxx.9) 12)(12(21xx由上式知，且当 k=0 时，故最大的整数根为 4.42x42x于是O 的直径为 4，所以 BC4.因为 BC=PCPB 为正整数，所以 BC=1，2，3 或 4. （6 分）连结 AB，AC，因为PAB=PCA，所以 PABPCA，。PAPC PBPA故 （10 分）)(2BC
5、PBPBPA（1）当 BC=1 时，由得，于是PBPBPA22，矛盾！222) 1(PBPAPB（2）当 BC=2 时，由得，于是PBPBPA222 ，矛盾！222) 1(PBPAPB（3）当 BC=3 时，由得，于是PBPBPA322，PBPBPAPBPA3)(由于 PB 不是合数，结合，故只可能PBPAPBPA ,3, 1PBPBPAPBPA , 3PBPBPAPBPA , 3,PBPAPBPBPA解得 . 1, 2PBPA此时 .21222PCPBPA（4）当 BC=4，由得，于是PBPBPA422 ，矛盾.2222)2(4) 1(PBPAPBPBPB综上所述21222PCPBPA5D
6、是ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB=3AD，P 是ABC 外接圆上一点，使得，求的值.ACBADPPDPB2004 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题解：连结 AP，则，ADPACBAPB所以，APBADP，ADAP APAB所以，223ADADABAP， 所以. ADAP33ADAP PDPB6如图，已知直径与等边三角形 ABC 的高相等的圆 AB 和 BC 边相切于点 D 和 E，与AC 边相交于点 F 和 G，求DEF 的度数。2007 年浙江省初中数学竞赛试题7是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 ABC？证明你的结论FMDCBA
7、“数学周报杯”2008 年全国初中数学竞赛试题解. 存在满足条件的三角形. ABC 的边 a6，b4，c5，且A2B，证明略8. 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆O上，且.OD,A BBCDCABBC （1）证明：点O在圆D的圆周上. （2）设ABC的面积为，求圆D的的半径的最小值. Sr2008 年全国初中数学联合竞赛试题解 （1）连，因为O为圆心，ABBC，所以，从而,OA OB OC ACOBAOBC . OBAOBC 因为，所以,ODAB DBBC ，9090DOBOBAOBCDBO 所以，因此点O在圆D的圆周上. DBDO （2）设圆O的半径为，的延长线交于点，易知.设aB
8、OACEBEAC2ACy，则，(0)yaOExABl222axy()Sy ax. 22222222()2222 ()aSlyaxyaaxxaaxa axy因为,ABBC,DBDO，所以22ABCOBAOABBDO BDO，所以，即，故. ABCBDBO ABAC2ra ly2alry所以，即，其中等号当时成立，2 22 23 222( )4422a laaSSaSryyyy2 2Sr ay这时是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为. AC2 2S9如图，给定锐角三角形 ABC，AD，BE 是它的两条高，过点作ABC 的BCCAC外接圆的切线 ，过点 D，E 分别作 的垂线，垂足分别为 F，G试比较线段 DF 和 EGll的大小，并证明你的结论2009 年全国初中数学联合竞赛试题解法 1：结论是下面给出证明 DFEG因为，所以 RtFCD RtEAB于是可得FCDEAB CDDFBEAB同理可得 CEEGADAB又因为，所以有，于是可得tanADBEACBCDCEBE CDAD CE DFEG解法 2：结论是下面给出证明DFEG 连接 DE，因为，所以 A，B，D，E 四点共圆，故90ADBAEB CEDABC 又 l 是O 的过点 C 的切线，所以 ACGABC 所以，于是 DEFG，故 DFEG CEDACG
