《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十四章 《系列4选讲》14.2 第2课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十四章 《系列4选讲》14.2 第2课时（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 不等式的证明不等式的证明1不等式证明的方法(1)比较法：求差比较法：知道 abab0，ab，只要证明 ab0 即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明 1 即可，这种abab方法称为求商比较法(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法这种证明不等式的方法称为综合法(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小
2、(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法反证法是常用的证明方法它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题证明需要经过两个步骤：验证当 n 取第一个值 n0(如 n01 或 2 等)时命题正确假设当 nk 时(kN，kn0)命题正确，证明当 nk1 时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数都正确2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等
3、式的代数形式：对任意实数 a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立设 a1，a2，an与 b1，b2，bn是两组实数，则有(a a a )(b b b )2 12 22 n2 12 22 n(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立(2)算术几何平均不等式若 a1，a2，an为正数，则，当且仅当 a1a2an时，a1a2annna1a2an等号成立1设 a，b，m，n
4、R，且 a2b25，manb5，求的最小值m2n2解 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，m2n25，的m2n2最小值为.52若 a，b，c(0，)，且 abc1，求的最大值abc解 ()2(111)2abcabc(121212)(abc)3.当且仅当 abc 时，等号成立13()23.abc故的最大值为.abc33设 x0，y0，若不等式 0 恒成立，求实数 的最小值1x1yxy解 x0，y0，原不等式可化为( )(xy)2 .1x1yyxxy2 224，当且仅当 xy 时等号成立yxxyyxxymin4，即4，4.1x1yxy题型一 用综合法与分析
5、法证明不等式例 1 (1)已知 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x2y3；1x22xyy2(2)设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc.3证明 (1)因为 x0，y0，xy0，2x2y2(xy)1x22xyy21xy2(xy)(xy)1xy23 3，3xy21xy2所以 2x2y3.1x22xyy2(2)因为 a，b，c0，所以要证 abc，3只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而 abbccaa2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立
6、a2b22b2c22c2a22所以原不等式成立思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ，用分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设 a、b、c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac ；(2)1.13a2bb2cc2a证明 (1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22a
7、b2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca .13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.a2bb2cc2a所以1.a2bb2cc2a题型二 放缩法证明不等式例 2 若 a，bR，求证：.|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|证明 当|ab|0 时，不等式显然成立当|ab|0 时，由 0，.上面不等1k21kk11k21kk11k2k k11k2k k1式中 kN，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若 00，则 n(k1,2，n)，得0，当取得最小值时，求 a 的值12|a|a|b解 由于 ab2，所以
8、，由于 b0，|a|0，所以212|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|bb4|a|a|b1，因此当 a0 时，的最小值是 1 ；当 a0，所以abc(当且仅当时取等号)a2bcab2cabc2abcbcaacabbabcc6已知 a，b，cR，且 2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解 由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，499当且仅当c3 时等号成立，a12b22(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.4997(
9、2015湖南)设 a0，b0，且 ab .1a1b证明：(1)ab2；(2)a2a2 与 b2b2 不可能同时成立证明 由 ab ，a0，b0，得 ab1.1a1babab(1)由基本不等式及 ab1，有 ab22，ab即 ab2.(2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a2 及 a0 得 0a1；同理，0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立8(2016全国甲卷)已知函数 f(x)，|x12| |x12|M 为不等式 f(x)1，所以，11，即 a 的取值范围是(1，)(2)由柯西不等式，得42()222( )2()2( )25x4y
10、5z2(4 2 )2x45y5z2(xyz)2，即 251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz 的取值范围是5,510已知 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；x1ax2b2x1x2(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解 因为 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以3x1ax2b2x1x23x1ax2b2x1x23336，32ab32ab2238当且仅当且 ab，即 abx1ax2b2x1x212且 x1x21 时，有最小值 6.x1ax2b2x1x2(2)证明 方法一 由 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不
11、等式可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2)2()2(aax1bx2ax2bx1ax1ax2bx2bx1b)2x1x2，当且仅当，即 x1x2时取得等号x1x2x1x2ax1ax2bx2bx1所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二 因为 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abx abx b2x1x22 22 1x1x2(a2b2)ab(x x )2 22 1x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当 x1x2时，取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.
