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1、初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步一、知识要点 1、代数式 定义 1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式 子叫做代数式。 2、代数式的值 定义 2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 3、列代数式 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、 多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成 “符号语言” 。 4、求代数式的值 代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代 数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数
2、式无意义。求代数式 的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。二、例题精讲 例 1、轮船在静水中的速度是每小时 a 千米，水流速度为每小时 b 千米(ba)，甲乙两码头 间相距 S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。 解 因为轮船在静水中的速度是每小时 a 千米，水流速度为每小时 b 千米(ba)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是ba S逆流所用时间是，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以ba S往返所用时间的和，即ababaS baS
3、222S评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。例 2 一支部队排成 a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用 t1分钟追上 了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了 t2分钟。如果他从最前头跑步回到队 尾，那么要( )分钟。A、 B、 C、 D、2121 tttt 21212 tttt 2121 2tttt 2121 2tttt 分析：这是行程问题中的相遇问题。解 部队的行军速度为米/分。t1分钟内，队尾的战士比部队多走了 a 米，则他的速度为2ta米/分=米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向11 2 tatta 12
4、ta ta而行，故所需时间应为(分) 选 C 12212121ttta ta taa2121 2tttt 例 3 若 abc，xyz，则下面四个代数式的值最大的是( ) A、ax+by+cz B、ax+cy+bz C、bx+ay+cz D、bx+cy+az 分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题， 故可采用特值排除法来解。 解：abc，xyz，可设 a=x=1,b=y=2,c=z=3，然后分别代入四个选择支计算得：A 的 值是 14；B、C 的值都为 13；C 的值为 11，故选 A 评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。例 4 已知，求
5、012 210 1011 1112 12621axaxaxaxaxaxxL的值。0281012aaaaaL分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。注意到求的是偶次幂项的系数和，故可将x=1 和 x= -1 分别代入已知等式的两边，得到1012101112aaaaaaL和，相加除以 2 即可得所求的值。2970129101112aaaaaaaL解 将 x=1 代入已知等式，得1012101112aaaaaaL将 x= -1 代入已知等式，得2970129101112aaaaaaaL两式相加，得 2()=7300281012aaaaaL=3650281012aaaaaL评注：本题采用的是特值法
6、。例 5 已知当 x=7 时,代数式 ax5+bx-8=8,求 x=7 时,的值.8225xbxa分析 代数式 ax5+bx-8 中有三个字母,将 x=7 代入，仍无法求出 a,b 的值，影响直接代入求 值，但通过观察，发现将 x=7 代入,可整体地求出 75a+7b 的值，从而问题得到解决。 解 由已知条件知：a75+b7-8=8，所以 a75+b7=16当 x=7 时，=(a75+b7)+8=16+8=168225xbxa 2121评注：本题采用的是“整体处理思想” ，整体处理是一种常用的数学思想。例 6 若 ab=1，求的值11bb aa分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好 ab=
7、1，如由 ab=1 得出，然后直接代ba1入计算；如利用 ab=1 巧秒地将式子中的“1”代换成 ab；如在式子的一个分式的分子、分 母上乘以 a 或 b，然后化成同分母进行计算。解法 1 由 ab=1 得，从而=ba111bb aa111 111 1111 bb bb bbbbb解法 2 ab=1，=11bb aa1111 1bb bbb abaa解法 3 ab=1，=11bb aa1111 1bb bbb babab评注：本题中的解法 2 与解法 3 巧秒地应用了 “1”的代换， “1”的代换是恒等变形中的 常用技巧之一。例 7 若 a、b、c 全不为零，且 求证：(1978 丹东市数学竞
8、11, 11cbba11ac赛试题) 分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有 b，因而可设 法从两已知等式中消去 b。证明：由，由abba1111得cbcb1111得两式相乘得 整理得 ca1111ca ca1去分母得 ac+1=a，因为 a0，故两边同除以 a 得11ac评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。例 8 对任意实数 x、y，定义运算 xy 为 xy=ax+by+cxy 其中 a、b、c 为常数，等式右 端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知 12=3，23=4，并且有一个非零实数 d，使 得对于任意实数 x,都有 xd=
9、x，求 d 的值。 解 由已知条件知 12=a+2b+2c=3 23=2a+3b+6c=4 xd=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x 由得 a+cd=1 bd=0 因为 d0，所以 b=0 代入得 a+2c=3，代入得 2a+6c=4 从而解得 a=5，c= -1，将 a=5，c= -1 代入 a+cd=1 得 d=4 评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。例 9 已知代数式，当时的值分别为1，2，2，而且不等于 0，问当dcxbax 21 , 1 oxd时该代数式的值是多少？(第 11 届希望杯数学竞赛培训题)2x 分析：所给代数式中含有 4
10、个字母 a、b、c、d，将所给的三个 x 取值代入，可得三个方程， 要直接求出 a、b、c、d 的值不可能，但可将 d 视为常数，从而三个方程可组成关于 a、b、c 方程组，可将 a、b、c 用 d 表示出来，代入将代数式化简后求值。解：将分别代入该代数式，得到1 , 0 , 1x. 2; 2; 1 dcba db dcba由此可得 将代入第一个和第;dcba).(2;2dcbadbdb2三个等式中，得 ,2dcda,222dcda； 进而得到 dca3. 02 ca.3,2,6dcdbda将和代入代数式中，得到ba,cdcxbax 2ddxddx dcxbax 22326 dxdx ) 13
11、()26(2；再将代入，得 13262xx2x.1314 1)2(32262即当时该代数式的值是2x.1314评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看 作一个方程。三、巩固练习 选择题 1、若代数式 2y2+3y+7 的值是 2，则代数式 4y2+6y-9 的值是( )A、1 B、-19 C、-9 D、9 2、在代数式 xy2中，x 与 y 的值各减少 25%，则代数式的值( )A、减少 50% B、减少 75% C、减少其值的 D、减少其值的6437 64273、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的 3 倍减去-2，仍得原数，这个两 位数是( )
12、 A、26 B、28 C、36 D、384、在式子中，用不同的 x 值代入，得到对应的值，在4321xxxx这些对应值中，最小的值是( ) A、1 B、2 C、3 D、45、实数 a、b、c 满足 a+b+c=0，且 abc=1 则的值( )cba111A、是整数 B、是零 C、是负数 D、正、负不定6、如果，那么下列说法正确的是( )11111zyxzyxA、x、y、z 中至少有一个为 1 B、x、y、z 都等于 1 C、x、y、z 都不等于 1 D、以上说法都不对 填空题 7、某人上山、下山的路程都是 S，上山速度为 v，下山速度为 u，则此人上、下山的 平均速度是 8、已知，则代数式 x
13、x+yy-xy-yx的值是 032)-(2 yx9、设 a、b、c、d 都是整数，且 m=a2+b2，n=c2+d2，mn 也可以表示成两个整数的平方 和，其形式是 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数 x、y 有则= yxyxyx 31*19121111、如果 2x2-3x-1 与 a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么 cba12、如果(x-a) (x-4)-1 能够分解成两个多项式 x+b、x+c 的乘积，且 b、c 均为整数，则 a= 解答题13、已知，5 54 43 32 210512xaxaxaxaxaax求 a1+a2+a3+a4+a514、a、b、c 互不相等，化简 bcacbac abcbacb cabacba 22215、已知 x-2y=2，求的值。8463 yxyx16、若 abc=1，求的值111ccac bbcb aaba17、已知 a+b+c=0，求的值。3111111 bacacbcba18、已知的值yxyxyxyx yx2232311，求19、已知 ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406.求 1999(x+y)+6xy的值ba 21720、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是 1999，求这个四位数。
