《三阶非线性中立时滞微分方程的可解性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三阶非线性中立时滞微分方程的可解性（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 4卷第 6期 2 0 1 3年 l 2月 通 化 师 范 学 院 学 报(自然科学) J OU RNA L OF T ONGHUA NORMAL U NI V ER S I T Y Vo 1 3 4 6 De c 2 01 3 三阶非线性 中立 时滞微分 方程 的可解性 王 丽 丽 ( 通化师范学院 数学学院 ， 吉林 通化 1 3 4 0 0 2 ) l 引言 近来 ， 诸多学者对中立时滞微分方程振动解及 非振动解的存在性有所研究 尤其 文献 1 研究 了 一类一阶微分方程 Y ( t )一P ( t ) Y ( t 一7 _ ) +Q( t ) G ( y ( t 下 ) )= t
2、 ) ， t t 0 解 的振动性准则 文献 2 讨论 了二阶非线性微分 方程 y J ( t )+ ( ， y ( t ) )=0 ， t t 0 非振动解存在的一些结论 文献 3 应用 K r a s n o s e 1 s k i i 不动点定理对二阶非线性 中立时滞微分方程 r ( t ) ( ( t )+P ( t ) x ( t 一 ) ) ， + Q ( t ) f ii ( x ( t or i ) )= 0 ， t t 0 非振动解的存在性进行了讨论 然而 ， 这些文献只讨 论了相应的时滞微分方程解 的存在性 ， 本文将研究 下面的三阶非线性中立时滞微分方程 r ( t )
3、( ( t )+ P ( t ) x ( t 一下 ) ) 1 + t ， ( o r 1 ( t ) ) ， ， ( o r ( t ) ) )=0 ， t t o (水) 解存在的若于充分条件， 并给出解的有界性及不可 数性结果 2 主要结果 方程( ) 中我们约定 后为正整数 ， J0 ， P c ( t o ，+。 。 ) ， R ) ， rC ( t 0 ， +o o ) ， R 0 ) ， or c( t 0 ， +) ， R) 满足 l i m or ( t )=+。 。 ， i 1 ， 2 ， ，k ， = C ( t o ， +) ， R) ： s ( t )M， Vt t
4、。 且泛函 满足以下条件 ： ( 1 ) 若存在正常数 ， 及非负连续函数 W和q 满 足： 对于所有 t t o ， +) ， u ， “ 0 ， M ， 其中 i 1 ， 2 ， ， k ， 有 I ( t ， u l ， 2 ， ， )一 t ， M l ， 2 ， ， )I W( t ) m a x l M 一“ l ： 1i k 及 l t ， “ 1 ， u 2 ， ， u )I q ( t ) ； ( 2 ) f m a x ) I d s d N 0 如果存在常数 cE o , ) 满足对于充分大的 t 有 I p ( t ) s c ( 1 ) 成立， 那么方程 ( ) 在
5、中有不可数多的有界非振 动解 证明令 L( +c M， ( 1一C ) M) 根据条件 ( 1 )和式子( 1 )可以证明存在 0( 0 ， 1 )及充分大 的 Tt 0+r 使得 $收稿 日期 ： 2 0 1 30 81 0 作者简介 ： 王丽丽( 1 9 8 6一) ， 女 ， 吉林通化人， 在 读博 士， 通化师范学院数学学 院教师 1 0 I p ( )I c ， Vt T ， =c +J ( ) d s d ( 2 ) 且 ( s ) d s d u s mi n LNc M， ( 1一c ) M L ( 3 ) 成立 显然易知 力是 C ( t 。 ， +) ， R ) 的闭子集
6、定 义映射 S ( t )= )+ s ， 1 ， ( ( s ) ) ) d M ， ， ， 【 S L ( ) ， l 0 T， S L x ( t )s L+ I P ( t )I ( t r )+ J( u， ( -配 )t I s ， ( ( s ) ) ， ， ( ， ( s ) ) ) l M + 几 ) d s d u + c M 4 -M c M L = M 并且 S L x ( t ) L- I P ( t )I ( t 一下 )一 九 I ( ( 一 ， ( ( s ) ) ) I c 一 ) d s d L c N 一 + N 4 -c M= N 因此 ， 得 S 下面
7、证明S 是一个压缩映射 事实上 ， 根据条 件 ( 1 ) ， 式子( 2 )和( 4 ) ， 对于 V ， Y ， t T ， I S ( t )一S Y ( t )l I P ( t )I I ( t 一丁 )一Y ( t 一丁 )I + 几 u - t ( ( s ， ( ( s ) ) ) 一 s ， Y ( o r l ( ) ) ， ， Y ( ( s ) ) )I d s d u c ；l y il+I 一， ， Il 广 ( s ) d s d = 0 J I 一Y l l ， 由此可知 l I S L xS L Y l I s 0 I I Y fI ， V Y 成立 故 S
8、在 中有唯一的不动点， 即为方程( ) 的有界 的非 振动解 另一方面， 方程 ( ) 的有界的非振动解有不可 数多个 令 ， L 2 ( N+ ， ( 1一c ) g) 且 厶 L ： 对 于J 1 ， 2 ， 选取 ( 0 ， 1 ) ， t 。 +r 及映射 满足式子 ( 2 4 ) ， 且 c+ ( s ) d s d ma x ， ( 5 ) 显然压缩映射 s J s L 2 在 中各 自存在不动点 和 联立条件( 1 ) 及式子( 5 ) 可得 l ( )一Y ( )I I l一 2 I I P ( t )I I ( t 一7 I )一Y ( t )I J( J= s ， ( 。
9、r ( ) ) ， ， ( 。 r ( s ) ) ) 一 5 ， Y ( ( s ) ) ， ， Y ( ( s ) ) )l d s d u I 1 一 I c f l Y l I一 I ) d s d u I L 1一 2 I 一2 M( c+ 厶 ( s ) ) 0 ， 即 Y 综上所述 ， 方程( ) 在 力中存在不可数多 有界的非振动解 定理 2 当条件( 1 ) 和( 2 ) 成立且常数 满足 M N 0时 ， 如果存在常数 M 满足对于充分大的 t 有 P ( t ) c 成立 ， 那么方程 ( ) 在 c ( t 。 ，+) ， R)中有不可 数多的有界非振动解 证 明 由定
10、理 1及压缩映射原理易证 明上面的 结论 定理 3 当条件 ( 1 ) 和 ( 2 ) 成立且 常数 满足 M N 0时 ， 如果存在常数 M 满足对于充分大的 t 有 P ( t )一c 成立 ， 那么方程( ) 在 c( t 。 ，+) ， )中有不可 数多的有界非振动解 证明 由定理 1 及压缩映射原理易证明上面的 结论 参考文献 ： 【 l N P a r h i 。 R N R a t h ， O s c i l l a t io n c r i t e r i a f o r f o r c e d fi r s t o r d e r n e u t r a l d i f f
11、e r e n t i a l e q u a t i o n s w it h v a ri a b l e c o e f f i c i e n t s J J Ma t h A n a 1 Ap p l ， 2 0 01 ， 2 5 6： 5 2 55 4 1 2 E Wa h l e n ， P o s i t i v e s o l u t i o n s o f s e c o n d o r d e r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s J N o n l i n e a r A n a l ， 2 0 0 4 ， 5 8 ： 3
12、 5 9 3 6 6 3 Y Z h o u 。 E x i s t e n c e for n o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s o f s e c o n d o rde r n o n l i n e a r d i ff e r e n t i al e q u a t i o n s J J Ma t h A n a1 A p p 1 2 0 0 7， 3 3 1 ： 9 1 9 6 4 w P Z h a n g ， W F e n g ， J Y a n ， J S S o n g ， E x i s t e n c e o
13、f n o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s o f fi r s t o r d e r l i n e ar n e u t r al d e l a y di ff e r e n t i a l e q u a t i o n s J C o m p u t M a t h A p p l ， 2 0 0 5 ， 4 9 ： 1 0 2 1 1 0 2 7 ( 责任编辑： 王宏志) S o l v a b i l i t y f o r a T h i r d - o r d e r No n l i n e a r Ne u t r
14、a l De l a y Di ffe r e n t i a l Eq u a t i o n W ANC Lil i ( C o l l e g e o fMa t h e m a t i c s ， T o n g h u a N o r m a l U n i v e r s i t y ，T o n g h u a ， J i l i n 1 3 4 0 0 2 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： T h i s p a p e r d e als w i t h s o me s u ffic i e n t c o n d i t i o n s o f t h e e x i s t e n c e o f t h e n o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f t h i r do r d e r n o n l i n e a r n e u t r a l d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s T h e u n c o u n t
