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1、W W z h (n g s h tlt a “ )11 _ 羽 一类弱曙盟 的i E g g 焦 宇( 陕西省西安 中学) 近年来 ， 在一些竞赛和 自主招生考试的试题 中， 经常可以看到含有 mi n x， Y ， 或 ma x ， Y ， 的 不等式 。这类问题综合性强 ， 解法灵 活多样 ， 不少学 生感到无从下手 。本文举例说 明这类不等式 的证明 策略 ， 供读者参考。 例 1 ( 2 0 0 8年北京大学 自主招 生试题) 设实数 口 l 、 n 2 、 口 3 和 b 1 、 b 2 、 b 3 满 足 f 口 l +n 2 +n 3 6 1 +b 2 +b 3 ， 口 1 口
2、 2 +口 2 口 3 +a 3 n l -b l b 2 +b 2 b 3 +b 3 b 1 ， 【 rai n 日 1 ， n 2 ， 口 3 mi n b l ， b 2 ， b 3 ) 。 证 明 ： ma x 口 l ， 口 2 ， 口 3 ) ma x b 1 ， b 2 ， b 3 ) 。 讲解 ： 不少资料都是通过构造三次 函数证明的， 下 面给 出一 种 中学生 容易 接受 的证 法 。 不 妨设 n 1 口 2 口 。 ， b 6 2 6 。 ， 则 由 式知 口 b 。 。从 而 只需证 明 n 。 6 3 。 不难验证 ， 给题中的每一个数都加上 同一个实数 m， 所有
3、的条件 和结 论都不变。因此， 可设 口 。 、 口 。 、 n 。 和 b 、 b 、 b 。 都是非负数。特别地 ， 设 n ， 一0 ( 即给每一 个数 日 、 b 都加上一口 。 ， 一1 ， 2 ， 3 ) ， 则条件、 变为 口 z + 口 3 一b 1 +b 2 + b 3 ， 口 2 口 3 一b 1 b 2 +b 2 b 3 + b 3 b 1 。 消去 口 2 ， 得 口 ； 一( 6 1 +b 2 +b 3 ) 口 3 +b 1 b 2 +b 2 b 3 + b 3 b 1 0。 两边 同乘 以 n 。 ， 得 0 =n ； 一( 6 1 +b 2 +b 3 ) 口 ；
4、+ ( 6 1 b 2 +b 2 b 3 +b 3 b 1 ) 口 3 a i 一 ( 6 l + b 2 + b 。 ) n ； + ( b 1 b 2 +b 2 b 3 + b 。 b 1 ) a 3 -b 1 b 2 b 3 一( a 3 一b 1 ) ( 口 3 一 b 2 ) ( 口 3 一b 3 ) 。 因为 n 。 -b l 、 口 3 一b 2 及 口 。 一b 。 不可能全是正数 ， 所 以 口 -b 。 O ， 即 6 。 。得证 。 例 2 设实数 z 1 、 3 7 2 、 、 X 满足 1 +z 2 + + 3 7 一0 ， i +z ； + +z 2 = = ： 1
5、 ， N 。记 口 一mi n ( z 1 ， 1 2 ， ， z ， 6 一ma x 1 ， z ， ， z ) 。求证 ： n 6 一二 。 i r l 讲解： 只需证 明 1 + n a b 0。 根据题设条件 ， 将式齐次化后可改写为 + ； + +z ： 一 ( 1 + 2 + +z ) ( n +6 ) + n a b 0 。 根 据对 称性 ， 式 可 改写为 z 一( n +b ) x + 0 。 现只需 证 明 z 一( 口 +6 ) z +a b 0 ， 即 ( z -a ) ( z -b ) 0 ， 一1 ， 2 ， ， 。 根 据 口 、 b的意义 ， 有 口 z 6
6、( ：1 ， 2 ， ， ) 。 所以式成立， 故原不等式成立 。 例 3 设正系数一元二次方程 口 。 +b x +f 一0有 实 根 ， 求 证 ： ( I ) m a x (2 ， b , c ) 告( n + 6 + c ) ； ( 1I ) m in 口 ， b ， c ) 寺 ( 口 + 6 + c ) 。 讲解 ： 本题条件较少， 关键是选好恰 当的切入点。 令 n +6 +f 一 ( 0 ) 。 ( I) 若 b ， 则结论成立 。o t 若 b 一 吾 一 5 ， 即 c 可5 一 n 。 则 由 式 得 t 口 c 口 ( 吾 z n ) ， 即 n z 一百 5 + 。 0 ，解得 口 可 4 。 若 n 9t ， 则结论成立 ； 若 口 5 一口 4 ，结论亦成立 。 综 上 所 述 ， m a x 口 ， 6 ， f ) 鲁 一 可4 ( 口 + 6 + c ) 。
