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1、1浅谈积分在几何中的应用浅谈积分在几何中的应用学生姓名:张芳芳 学号:20085031252数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师:沈明辉 职称:博士摘 要: 积分在几何中的应用多种多样且技巧性强,为使学生灵活运用,熟练运用积分求几何图形中的体积和面积,本文将数学分析中积分在几何中的应用系统的进行了归纳.分析积分在几何中应用范围和方法:由积分求面积,由积分求体积,.它对快速了解并应用积分求几何有一定的意义.为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积
2、。关键词: 二重积分; 三重积分; 定积分On the calculation of indefinite integralAbstract: Indefinite Integral method of calculating a variety of skills and strong, To allow flexibility in the use of students, skilled choice of integration method for calculating the indefinite integral, In this paper, mathematical ana
3、lysis of various methods of calculating the indefinite integral of the system is summarized . Analysis of the four basic indefinite integral solution: direct integration, the first element method for, element method for the second category, Integration division Its indefinite integral quickly solvin
4、g a certain degree of significance. Keywords: Indefinite Integral；for integral； distribution points引言引言 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样.微分也有其逆运算积分法.它是研究求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。这个问题的提出首先是因为它的出现在许多实际问题之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点的斜率（或某一点的斜率所满足的条件）求曲线方程等。而这些2问题的解决都与大家的日常生活息息相关。研究不定积分的方法,以后对生活,科研都有很大作用.1.预备知识预
5、备知识1.1 原函数及不定积分的概念原函数及不定积分的概念是函数的一个原函数，是指对定义在区间内的已知函数，如果存)(xF)(xfI)(xf在可导函数，使对于任意的，都有)(xFIx或)()(xfxFdxxfxdF)()(的不定积分，是指的全体原函数（为任意常数）记作)(xf)(xfCxF)(CCxFdxxf)()(原函数存在定理: 连续函数一定有原函数.1.21.2 不定积分的性质不定积分的性质 )()(/xfdxxfdxxfdxxfd)()( Cxfdxxf)()(/CxFxdF)()(dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(21212.运用运用积分的求体积的方法及举例积分的求
6、体积的方法及举例2.1 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于轴的两平面与之间xxaxb。为方便起见称为位于的立体。若在任意一点处作垂直于轴的平面，()ab , a b , xa bx它截得的截面面积显然是的函数，记为，并称之为的截面面积函数。x( )A x , xa b由截面面积函数求的立体体积的一般公式为：。 ( )baA x dx例一：求由两个圆柱面与所围立体的体积。222yxa222xaz2.2 换元积分法换元积分法32.2.1 第一类换元积分法: 定义：设 f(u)具有原函数 F(u),即, .设 u 为中间变量: , _F(u)=f(u)( )
7、( )f u duF uc( )ux可微,则根据复合函数微分法,有.根据不定积分的定义,就有( )x ( ) ( ) ( )dFxxx dx.( ) ( ) ( ) ( )( )uxfxx dxFxcf u du即简化为：设 f(u)具有原函数, 可导,则有换元公式( )ux( ) ( ) ( )( )uxfxx dxf u du 第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法, 它的基本思想是“变换积分变量, 使新的积分对于新的积分变量好求原函数”, 采用的手段是 “凑微分”, 将凑成, 如果说被积函数可以凑成这样两个因子的乘xxfd)(xxxfd)()()()(xxf积（其中一个
8、是的函数, 另一个是的导数）, 方可使用第一换元积分法.)(x)(x 用第一换元法的目的：求出积分, 因此, 换元以后的积分必须容易求出( ) ( ) ( )( )uxfxx dxf u du积分. 一般地, 换元后的函数是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线)(uf性组合形式. 例题：例 1: 求1 32dxx解:令,则原积分=23ux1 11111ln |23|2222duduucinxcuu 例 2: 求23(2)xdxx解:令,则原积分=2ux2 23123 3(2)(44)(44)uduuuu duuuuduu12 242ln | 42ln |2|2(2)uuucxcxx
9、 方法总结题型： ;(a)1()() ()f axb dxf axb d axba04 ;11()() ()nnnnf x xdxf x d xn ;11111()()()()nnnnn nnf xdxf xxdxf xd xxxnx ;()()xxxxf e e dxf e de ;1(ln )(ln ) lnfxdxfx dxx ;2(tan )sec(tan ) tanfxxdxfx dx(7) ;222222111111()arctan 1 ()1 ()bxbxdxdxdcbxbxab xaabaaba aa 2222222111111()2( )bdxdxdxaaaba xbbaxx
10、xbbb11lnln22bxaxbaccbababaxbxa ； 22221111()arcsin 1 ()bxbxdxdcbababxab x a 212sincossincoscosknknxxdxxxdx 2(1 cos) coscosknxxdx ；2122sincossincossinsin(1 sin)sinknknknxxdxxxdxxx dx 22111sincos (1 cos2 ) (1 cos2 )( )(1 cos2 ) (1 cos2 )222llklkk lkxxdxxxdxxx dx ；22tansectan(1tan)nknkxxdxxxdx 21221tans
11、ectansectan secknknxxdxxxxxdx211(sec1)secsec ()knxxdx kN 1sinsinsin()sin() 2mxnxdxmn xmn x dx11sin()sin()22mn xdxmn xdx511cos()cos()2()2()mn xmn xcmnmn 1sincossin()sin() 2mxnxdxmn xmn x dx11cos()cos()2()2()mn xmncmnmn 1coscoscos()cos() 2mxnxdxmn xmn x dx11sin()sin()2()2()mn xmn xcmnmn2.2.2 第二类换元积分法
12、（变量代换法）： 定义：设是单调、可导函数，并且，又设具有原函数，则( )xt( )0t ( ) ( )ftt换元公式，其中是的反函数1( )( ) ( ) ( )ttf x dxftt dt1( )x( )xt 例题： 求222ab x dx解:令， 则原积分 =tanaxtb2 2(,)t 2 2222sincoscosaaaattdttdtbb=221 cos2(2 )(sin2 )44atadtttcbb2 222 22(arcsin)4abxbxab xcbaa 求（a0） 2221dx b xa解：令，tanaxtb2 2(,)t 则原积分=22211secsecsecln |se
13、ctan |aattdttdtttcbbb222 1111ln |(ln )bxab xc ccabb3求 2221(0)dx a b xa 6解：令，2 2(,)x 则原积分=222 11111ln |sectan |ln |(ln )ttcbxb xac ccabbb 2.3 分部积分法分部积分法 定理：（分部积分法）若和可导，不定积分存在，则也存在，并( )u x( )v x( ) ( )u x v x dx( ) ( )u x v x dx有 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx简写为：udvuvu vdx 规律：如果和 选取
14、不当就求不出结果，所以应用分布积分公式时恰当的选取uv 和 是关键，选取和 一般要考虑以下两点：uvuv （1）要容易求得；v（2）要比容易积出u vdxudv（3）对于积分,u、v 哪个函数放进 d 里面呢uvdx1.幂函数与三角函数相乘(把三角函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平) 2.幂函数与指数函数相乘(把指数函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平) 3.幂函数与对数函数相乘(把幂函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平) 4.三角函数与指数函数相乘(把三角函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平) 例题：；cossinsinsincosxxdxxxxdxxxxc2 21arctantantanarctanarctanln(1)12xxdxxxxdxxxdxxxxcx；44 3lnln()(4ln1)416xxxxdxxdxc 求和1cosaxIebxdx2sinaxIebxdx解：；12111cos()(cossin)(cos)axaxaxaxIbxd eebxb ebxdxebxbIaaa；2111sin()(sin)axaxIbxd eebxbIaa ；解之得：1212cossinaxaxaIbIebxbIaIebx
