浅谈三角形的面积公式

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1、浅谈三角形的面积公式浅谈三角形的面积公式邓超 （福建省福州市第十八中学 350001）同学们对三角形的面积公式都很熟悉：底高。从这个公式出发可以推导出三1 2S 角形的一些其它的面积公式。比如，最为大家熟悉的海伦公式等。我们先来推导一下。ChabcDBA如图，中，分别是所对的边，是边上的高ABCV, ,a b c,BACBChBCAD。利用我们熟知的面积公式可得，如果能用三角形的三边表示高 h 就可以得到一个1 2Sah有用的公式。如何表示呢？其实只要用初中学过的勾股定理就可以了。设,则BDx ，对和分别使用勾股定理可得：CDaxRt ABDVRt ACDV，代入可得：，解得：22222hAB

2、BDACCD22222()hcxbax。所以。此时高 h 就用三角形的三条边表示好2222acbxa222 22()2acbhca了。故有222222 22222111()()22244acbacbSaha ca ca这就是我国南宋数学家秦九韶在其所著的数书九章中所给出的三斜求积式。我们接着往下变形有222 2221()44acbSa c=222222222222114() (2)(2)1616a cacbacacbacacb=222211()() ()()()()1616acbbacacb acb bac bac 令，则上式可变为，这就是著名的海伦公1()2pabc()()()Sp papb

3、pc式。 为什么会有这么一个公式？为什么知道三角形的三条边就能求面积？其实道理很简单， 它就隐藏在初中学过的全等三角形的判定定理中：三边对应相等的两个三角形是全等三角 形（简称 SSS） 。由此判定定理，既然一个三角形的三条边都给定了，那么这个三角形的形 状和大小就确定下来了，面积自然也是固定的了，因此就能用三角形的三条边来表示该三 角形的面积了，这就是海伦公式。 照着这个思路，我们还可以得出求三角形面积的其它公式。比如已知三角形的两边及 两边的夹角的度数，也有一个公式，现在我们就来推导它。如图，假设三角形两边AB，BC 为已知边，为已知角。利用我们熟知的面积公式可得，和上文一样，B1 2Sa

4、h如果能用表示 h 即可。这时只要用初中的三角函数知识了。在中，, ,a bBRt ABDV，则，代入得：。为什么有这个公式，其实也sinhBcsinhcB11sin22SahacB很好理解：两边及两边夹角对应相等的三角形全等（简称 SAS） 。既然三角形的两边及两 边夹角都固定了，那么这个三角形的形状和大小就确定定下来了，面积自然也是固定的了， 因此也有这么一个公式。 照这个思路是不是还可以有其它的三角形面积公式？答案是肯定的。只要想想三角形 还有什那些全等的判定定理就可以了。还有一个常用的判定：两角及两角夹边相等的两个 三角形全等（ASA） 。于是可以猜想：已知三角形的两角和两角夹边就能计

5、算出三角形的面积。现在我们就来推导一下。已知三角形的两角和两角的夹边 BC。要推出该三,BC角形的面积，最简便的方法是利用上面推导的第二个公式：。式子中，若1sin2SacB能用表示即可。怎么表示呢？这就要利用正弦定理了。由正弦定理可知：c,aBC（R 表示三角形的外接圆半径） ，则有，代入上式2sinsinsinabcRABCsin sinaCcA得：。2211sin1sinsin1sinsinsinsin22sin2 sin(180)2sin()aCaCBaBCSacBaBABCBCogg当然，判定定理：两角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等（简称 AAS） 这一三角形的判定定理也对应着一个三角形的面积公式，这和 ASA 类似，有兴趣的读者可 以自行推导。综上所述，我们可以得到一个有趣的结论：每一个三角形全等判定定理都对 应着一个三角形的面积公式。