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1、2 0 1 4年第 2期 中学 数学 月 刊 5 7 “ 相关变量” 的分 类解 析 朱传美 ( 江苏省兴化市戴南高级 中学 2 2 5 7 2 1 ) 笔者在文 1 就取值范围中的变量之间的关 系提出了“ 独立变量与相关变量”一说( 不 同于统 计中的定义) ， 并举例进行了简要说 明 变量独立 是很容易理解 的， 而变量相关就复杂多了 对此， 笔 者进 行 了更进 一 步 的思 考 ， 就 变 量 相 关 的情 形 进行 了初步分类 ， 特做如下整理 1“ 函数”型 相关 变量 若题 目给出的众多变量之间的关系可以用一 个等式唯一表示 ， 则称 之为“ 函数”型相关变 量 这是众多变量关系
2、中最普遍的一种 当然 ， 具体 的 又可分为两种 ： “ 显函数”型相关变量和“ 隐函数” 型相 关 变量 ( 1 ) “ 显 函数 ”型相 关变 量 若在题 目给出的众多变量中的某个变量能用 其余变量唯一表示 ， 则称之为“ 显函数”型相关变 量( 这 里 的“ 显 函数”就 是我 们 平 时所讲 的“ 函 数” ) 当然 ， 这样的函数可以是一元函数也可以是 多元 函数 例 1 ( 2 0 1 3 年 山东理) 设正实数 z， ， 满足 一3 x y+4 y 一 O ， 则Nx_ J _Y取得最大值时 ， + 一 的最 大值 为 ( ) y ( A ) 0 ( B ) 1 ( c 寺 D
3、) 3 0 分析 由已知条件可得 一3 x y+4 y 。 ， 变 量 z可看 做 变量 ， 的一 个 二元 函数 解 由 已知条件 可 得 z = = = z 一 3 x y+4 y ， 则 xy一 2 一 3 xy + 4 y 一 -一( 0， + 4 Y一3 1 ( 当 一2 时， 取最大值 1 ) 此时 z 一 3 + 4 一 2 y 2 导 + 一 2 一 1 十 1 一 1 一 ( 一 1 1 ) +1 1 ( 当 z= = = 一2 ， Y 一1 时 ， 取 “ 一” 号) ， 所以答案为 B 例 2 已知 + 2 y+ 3 z 一1 ， 则 + y 。 + 2 。 的最小值 为
4、 分析 由已知条件可得 z一1 2 一3 2 ， 显 然 ， 变量 z可看做变量 Y， 的一个二元 函数 解 由 + 2 y +3 z 一1 可得 一1 2 y 一3 z ， 代 入 + y + 。 ， 得 + y 。 + 一 ( 1 2 y一 3 z ) 。 + y 。 + =S y + 1 0 z + 1 2 yz一 4 y一 6 + 1 下 面把 y看 成 主元 ， 把 z 看 成 常数 设 函数 厂( ) 一5 y +l O z +1 2 y z 一4 y一6 z + 1 5 y + ( 1 2 z一 4 ) y+ 1 0 z 一 6 z+ 1 则 有 厂 ( ) 一5 ( + ) 。
5、 + 1 0 z 一 6 z + 1 1 0 一6 +1 一 ( 当且仅 当 y一一 时 ， 取“ 一” 号 ) 下面将得到仅含一个 自变量 z的函数g( ) 一 1 0 z 一6 +1 一 兰 ； 则 有 g ( ) 一 警 Z 2 - z + -2 =：= 警 ( z 一 ) + 1 ( 当且仅当 z 一 时 ，取“ 一”号) 把 z 一 代入 一一 及 z+2 +3 一 1 ， 得 一 1， z一 1所 以 + + 的最小值为 c 此 时 z 一 击 ， 一 ， 一 评析 这里消去变量 是 出于运算的方便 而 已 实 际 上 ， 不 管 先 消去 哪一 个 变量 ， 都 不会 影 响最
6、终 的解 题结 果 ， 而且 两个“ 一”均能 同 时成立 ( 2 ) “ 隐函数”型相关变量 若在 题 目给 出 的众 多变量 中的任何 一个 变量 不能用其余变量唯一表示 ， 则称之为“ 隐函数”型 相 关变 量 例 3( 2 0 1 0年浙江理 1 6 ) 设 ， 为实数 ， 若 4 x 。 + 。 +x y一1 ， 则 2 x 4 - Y的最大值是 分析 我们无法从已知条件“ 4 x + +x y 一1 ” 中唯一 地 解 出 或 也 就是说 ， 两个 变 量 z， 均无法表示为对方的 函数 ， 其关 系在高等数学 5 8 中学数 学月 刊 2 0 1 4年 第 2期 里被称 为“ 隐
7、 函 数 ”关 系 ， 故 这 里 可 称 变量 为“ 隐 函数 ”型相关 变量 解4 x + 。 一l x y 4 x y， 解 之得 x y ， 则( 2 x+ ) 一4 + 。 +4 一1 +3 x y i 8 一 5 2 z+ 所 以 2 4 - 的最 大值 是 例 4 已知实数 ， 满足( 一3 ) +Y 一3 ， 则 的最 大 值是 上 分析 这里的 ， 也是一对“ 隐函数”型相 关 变量 解 可看作是过点 F( x， )与 M( 1 ， O ) 的直线的斜率 ， 其中点 P在圆( 3 7 3 ) + = = = 3 上 ， 当直线处于切线位置时 ， 斜率最大 ， 易 算得其最大值
8、为 3 2“ 方程 组”型 相关 变量 若题 目给出的众多变量之间的关系虽然不可 以用一个等式表示 ， 但可以用方程组来表示 ， 则称 之 为 “ 方程 组 ” 型 相关 变量 例 5 ( 2 0 l 1 年重庆) 若实数 “ ， b ， f 满足 2 “ + 2 一2 “ ， 2 “+ 2 + 2 一 2 什 ， 则 C的最 大 值 是 解 2 “ +2 = = = 2 “ 2 2 “ 2 一2 2 计 ， 解 之得 2 “ 4 由 2 + 2 + 2 一 2 o ， 得 2 = = = 一 -1 + L一 + 4 1 = 一 卜 一S、 l 卜 一 = 2 一 1 2 “+ 一 1 。 2
9、 “ 一 1 。 要 则 l o g 一 2 1 o g 。 3 ， 所 以f 的 最 大 值 为 2一 l o g2 3 例 6 已知实数 口 ， b ， C 满 足 口4 - b + C 一9 ， a b + 6 c+ C (22 4 ， 则 C的取值 范 围为 解 由 “ +6 4 - f = = = 9 得 ( 一 9 ( n 4 - 6 ) 代人 + 6 f 4 - ( 一2 4 ， 得 +( n+6 ) 9 一 ( 口 +6 ) 一 2 4 又 ( ) 。 ， 所 以 2 4 一 ( + b ) E 9 一 ( 口 + 6 ) ( ) 整 理 后 ， 即 得 ( n + 6 ) 一
10、 1 2 ( n + 6 ) + 3 2 0 ， 解 得 4 6 + 6 8 所 以 C ：9 ( d 4 - 6 ) 1 ， 5 评析 例 5 和例 6 都有三个变量 n ， b ， c ， 并都 给 出了两个 方 程 显 然 ， 这 3个 变量 是 相 关 的 ， 所 以不妨 称它 们 为“ 方 程组 ”型相关 变量 3 “ 不等式 ( 组 l ”型相 关变 量 若题 目给出的众多变量之间的关系可以用不 等式 ( 组)表示 ， 则称之为“ 不等式( 组) ”型相关变 量 此类情 况 主要 以线性 规划 的题 目为主 例 7 已 知 2 ，试 求 2 n + 3 6 的取值范围 注 此 题解
11、 法不再 细述 现 在 的线 性 规划试 题 丰 富多彩 ， 如例 8 例 8 设函数 f ( x ) 一 。 + 。 +2 b x+ C 若当 ( 0 ， 1 ) 时 ， ( ) 取得极大值 ( 1 ， 2 )时， ( )取得极 小值 ， 则 的取值范 围是 分析 粗 看根 本不 知道 是线性 规划 的题 目， 找 出题 目条件 的充 要 条 件 后 ， 才 知 道 这 是 主元 为 a和 的线性 规划试 题 解 - 厂 ( z) 一 + 甜 + 2 b ， 令 ( ) 一0 ， 由 条件知 ， 该方程应满足 ： 一根在( 0 ， 1 )之间 ， 另一 根在 ( 1 ， 2 )之 间 f (
12、 1 ) +1 0 ， 得 6 0 ， 在 a O b I ， ( 2 ) 0 ， 【 n+ b + 2 0 坐标系中作 出可行域 ， 而 的几何意义是过 两点 P( “ ， 6 ) 与A( 1 ， 2 ) 的直线的斜率 ， 而 P( ， 6 ) 在上 述可行 域 内 ， 易 知 k M ( 1 ，1 ) ， 即得 ( - 7 ， 1) 评析 此题的变量有三个 “ ， b ， C ， 但实际上 ， 只有两个 ， 即 n ， 6 它们之间的关系用三个不等式 给出， 构成了线性规划的可行域 ， 故称它们 为“ 不 等式 ( 组 ) ”型相 关变 量 当然， 变量之间的关 系错综复杂 ， 情况远不止 上述 三种 ， 甚 至 在一 道 试 题 中 可 以 同时 出现 多 种 关系。 解法也更灵活多样 ， 需要作更深入的研究 参考 文献 1 朱传美 独立 变量 与相 关 变量 J 中小 学 数学 ( 高 中 ) ， 2 0 1 3 ( 6 )
