《《概率论与数理统计》习题及答案 第七章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》习题及答案 第七章（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、90概率论与数理统计习题及答案第 七 章1对某一距离进行 5 次测量，结果如下：（米）.2781, 2836, 2807, 2765, 2858已知测量结果服从，求参数和的矩估计.2( ,)N 2解 的矩估计为，的矩估计为X222*211()ni iXXSn，1(27812836280727652858)2809.05X *215854.01170.845S所以22809,1170.82设是来自对数级数分布12,nXXXL1(),(01,1,2,)(1)kpP Xkpklupk L的一个样本，求的矩估计.p解 1 11111 ln(1)ln(1)ln(1) 1kkkkppppppp （1）因为
2、很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩p1 2 1111 ln(1)ln(1)ln(1)kkkxpkkkppkpkpxppp 21 ln(1) 1ln(1) (1)xppxp pxpp （2）（1）（2）得 所以 121p 212p 所以得的矩估计p9121221111ni i ni iXXXnp Xn 3设总体服从参数为和的二项分布，为取自的XNp12,nXXXLX样本，试求参数和的矩估计Np解 12 2,(1)()NpNppNp解之得，1/Np，21(1)pNp 即，1Np，2 2111p 所以 和的矩估计为Np，.XN p*2 1SpX 4设总体具有密度X11(1)1,( ;) 0,.Cx
3、xCf x 其他其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，01, C0C ，求的矩估计12,nXXXL解 111111111 11C CEXCxdxCx ，111()11CCC C 解出得11,C 92于是的矩估计为.$1C X 5设总体的密度为(1),01,( ;)0,.xxf x 其他试用样本求参数的矩估计和极大似然估计.12,nXXXL解 先求矩估计：1112 10011(1),22EXxdxx解出得111 2,1所以的矩估计为.1 2 1X X再求极大似然估计：，112 1(,; )(1)(1) ()n n nin iL XXxx xxLL，1lnln(1)lnni iLnx，1lnl
4、n01ni idLnxd解得的极大似然估计：.1(1) lnni inx 6已知总体在上服从均匀分布，是取自的样本，X12 , 1nXXLX求的矩估计和极大似然估计.12, 解 先求矩估计：，12 12EX2222 221121122 2()() 1243EX 93解方程组12 122 1122 223 得2 11213(),2 21213().m注意到，得的矩估计为1212,，.$*13XS$*23XS再求极大似然估计，112 1212111(,;,)()nnn iL XX L1122,nxxxL由极大似然估计的定义知，的极大似然估计为12,；.$1 1(1)min(,)nXXXL$2 1(
5、 )max(,)nnXXXL7设总体的密度函数如下，试利用样本，求参数的极大似12,nxxxL然估计.（1）1(),0,( ; ) 0,.xxexf x 其它;已知（2）.|1( ; ),2xf xex 解 （1）111 11 1(,; )()()ni iinx xnn nin iL XXxexxe LL1 11ln (; )lnln(1)lnnnnii iiL XXnnxxL1ln0ni idLnxd 解似然方程，1ni inx得的极大似然估计94$1.ni inx （2）1| | 1 111(; )22ni iinx x nn iL XXee L由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中
6、位数，即$1()2()(1)22,1(),.2nnnXnXXn 为奇数,为偶数8设总体服从指数分布X(),( ; )0,.xexf x 其他试利用样本求参数的极大似然估计.12,nXXXL解 1() 1 1(,;),1,2, .ni iinxn x ni iL XXeexin LL1lnni iLnXln0dLnd由极大似然估计的定义，的极大似然估计为$ (1)x9设来自几何分布12,nXXXL，1()(1),1,2,01kP XkppkpL试求未知参数的极大似然估计.p解 ，11 1 1(,; )(1)(1)ni iinxn xn n iL xxppppp L1lnln()ln(1),ni
7、iLnpXnp1ln0,1ni iXndLn dppp 解似然方程95，1 1ni inXn pp 得的极大似然估计p。1pX10设是来自两个参数指数分布的一个样本.12,nXXXL12 1 1221,( ;,)0,.x exf x 其它其中，求参数和的（1）极大似然估计；12, 0 12（2）矩估计。解 （1）12 1121 121(,;,),1,2, .ixnni iL XXexin LL21 121lnln()ni iLnXn 12ln0Ln 由极大似然估计的定义，得的极大似然估计为1；$1 (1)x12 1222ln1()0ni iLnXn解似然方程得的极大似然估计2$2 (1)Xx（
8、2）112EX2222 2212 ()()EXDXE X解方程组11222 2212,() ,得 22 221,.2 1121所以的矩估计为12, 96$*1,XS*2* 2.SS11罐中有个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各N为 0.5）其余个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷N两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出 0 次、n1 次、2 次正面的次数分别为，利用（1）矩法；（2）极大似然法去012,nnn估计参数。解 设为连掷两次正面出现的次数，取出的硬币为普通硬币 ，XA 则21(0)( ) (0|)( ) (0|)( ),24P XP
9、 A P XAP A P XANN,12 21(1)( ) (1|)( ) (1|)( )2P XP A P XAP A P XACN2N(2)( ) (2|)( ) (2|)P XP A P XAP A P XA，2143( )24NN NNN即的分布为X012 43 424X NPNNN（1）1432 22NN NNN解出得 1(2),N的矩估计为 $ 121(2)2(2)NXNnnn1201(22)(2)NNnnnnnnn（2），012143(; )424nnnnNL XXNNNL012ln(lnln(4)(lnln(2)(ln(43 )ln(4)LnNnNnNN，012ln3043nd
10、Lnn dN解似然方程970123,43nnn N得的极大似然估计.$ 014()3Nnnn12设总体的分布列为截尾几何分布1()(1),1,2, ,kP XkkrL，(1)rP Xr从中抽得样本，其中有个取值为，求的极大似然估计。12,nXXXLm1r 解 1() 1 1 1(,; )(1)(1),n mi iin mXn m Xmrn mmr n iL XX L1ln()ln()ln(1),n mi iLXnmmrnm1ln11()()0,1n mi idLXnmmrnmd解似然方程1 1n mi iXnmmrnm 得的极大似然估计.$1111n mnii ii n mnii iiXnmm
11、rXnXmrXm 13设总体服从正态分布是其样本， （1）求X2 12( ,),nNXXX L使得是的无偏估计量；（2）求使得C122 1 1()nii iCXX 2k为的无偏估计量.1|ni ikXX解 （1）1122 111 11()()()nniiiiii iiECE XXCD XXE XX 981 2 1 1()2(1)nii iCDXDXCn 可见当时，是的无偏估计量.1 2(1)Cn122 1 1()nii iCXX 2（2）111|niiij ij iEkE XXkE XXXnn111nij ij inkEXXnn设 ，因11ii j inZXXnn2 2 211(1)(,)in
12、nnXNnnn，所以2 2111(,)i j innXNnnn21(0,)nZNn.(0, 1)1ZNn n因为 ，所以2 1ZEn n2(1)|nE Zn于是1|2 (1)/niEkE Zkn n故当 时是的无偏估计。2 (1)kn n1|ni ikXX14设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任12,nXXXL意的常数，统计量是的无偏估计量。k2(1)kXk S证 22(1)(1)E kXk SkEXk ESkk（此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计） ，所以对任意XEX2SDX的是的无偏估计。2(1)kXk S15设总体有期望为一样本，问下列统计量是否为的X12,nXXXL无偏估计量？（1）;（2）;（3）121()2XX122XX;1211(2332)10nnXXXX99（4）；（5）；（6）.(1)X( )nX(1)( )1()2nXX解 （1） ， （2） ， （3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为 1，故它们都是的无偏估计。但（4） ， （5） ， （6）一般不
