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1、1第一章整式第一章整式 整式的加减整式的加减 本章的知识是以后学习一次方程，整式乘除，分式和根式运算，函数等知识的基础，也是 今后学习物理、化学等学科必不可少的工具。 本章的重点是合并同类项和整式的加减。难点是同类项的合并和添括号法则的理解和运用. 为了掌握本章知识，我们要注意以下几点: 1.理解单项式，多项式和整式的概念，弄清它们的联系。 2.掌握单项式的系数、次数、多项式的项数、次数等概念。 3.理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号、添括号的法则，准确进行整式的 加减运算。 4.要熟练地把一个多项式按某一个字母升幂或降幂排列。 整整 式式 一一.本讲知识要点本讲知识要点: (一)
2、单项式单项式: 1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。如mn 是数、字母 m、n 的积，它是单项式，但不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。，a，b 都是单项式。在a2b， ，2x2+3x+5 中，只有a2b 是单项式。2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。如的系数是，5a3的系 数是 5。 3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如: x3y2的次数是 x 的指数 3 与 y 的指数 2 的和为 5，即x3y2的次数是 5；ab 的次数是 2；4abc 的次数是 3，2a 的次数是
3、1，4 的次数是 0。 下面我们通过填表来进一步练习: 单项式 x3y - 0.6x2y2z2 -15a2b2 0.7pq -p x2 系数 - 0.6 -15 0.7 - 次数 4 3 6 4 2 1 2 (二)多项式多项式: 1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字 母的项叫做常数项。 如：多项式-2x+3 中，-2x，3 是它的项，3 是常数项；多项式 5x2-3x+4 中，5x2，-3x，4 是 它的项，4 是它的常数项. 注意注意:多项式的项包括它前面的符号。 2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式.如 3x-1 是二项式，7x2-
4、5x+3 是三项 式，a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。 3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 如:多项式 5x2-x+2 中 5x2项的次数最高，次数为 2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3 是一次二项式；m2+mn+n2是二次三项式； x4y+xy4是五次二项式。 24.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母 降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排 列。 如:多项式 2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6 是六次五项式，按 x 的降幂排列为-5x4+2
5、x3y2+x2y4-xy3-6，在这里只考虑 x 的指数，而不考虑其它字母；按 y 的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4。 注意注意:(1)重新排列一个多项式时，各项都要带着符号移动位置； (2)对含有两个以上字母的多项式，一般都按其中某一个字母的降幂排列。 (三)整式整式: 单项式和多项式统称为整式。即 如:-3，a2b，a2-b2都是整式。 二二.例题例题: 例例 1.下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式?说出各单项式的系数、次数；各多项式 是几次几项式，并按某一个字母降幂排列: -12，-2a，x2yz，m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，0.5，4-
6、3a2b-ab2-b3。 解解:单项式有:-12，-2a，x2yz，0.5；-12 的系数就是-12，次数是 0；-2a 的系数是-2，次数是 1；x2yz 的系数是 1，次数是 4；0.5 的系数是 0.5，次数为 0。 多项式有 m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，4-3a2b-ab2-b3；m2-n2是二次二项式，按 m 的降幂 排列为 m2-n2；x2+2x+1 是二次三项式，它本身就是按 x 的降幂排列；-3x2+2y2-xy 是二次三项 式，按 y 的降幂排列为 2y2-xy-3x2； 4-3a2b-ab2-b3是三次四项式，按 a 的降幂排列为：-3a2b-ab2
7、-b3+4。 例例 2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13，-x，5a，abc， ax2+bx+c，a3+b3。 解解:单项式有:13，5a，abc； 多项式有: ，-x，ax2+bx+c，a3+b3； 整式有:13，5a，abc，-x，ax2+bx+c，a3+b3。 例例 3.当 x=-，y=-时，求 x2y+xy2-y3的值。 解解:当 x=-，y=-时， x2y+xy2-y3=(-)2(-)+(-)(-)2-(-)3=-+= 例例 4.m 是大于-1的负整数，n 是绝对值为 2 的有理数， 求: m3-2n2m2+6n3m 的值。解解:首先要确定 m，n 的取值，依题意得 m=-
8、1, |n|=2， n=2，要分两种情况讨论: 3当 m=-1，n=2 时， m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-222(-1)2+623(-1)=-8-48=-56当 m=-1，n=-2 时， m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-2(-2)2(-1)2+6(-2)3(-1)=-8+48=39 例例 5.已知:3xmy2m-1z-x2y-4 是六次三项式，求 m 的值。解解:3xmy2m-1z-x2y-4 是六次三项式，而 -x2y 的次数是 3；-4 的次数是 0， 3xmy2m-1z 的次数应是六， m+2m-1+1=6 3m=6 m=2例例 6.已知|a-5|=0，且(a-5)|
9、b+7|=a+5，求 b 的值。分析分析:由已知|a-5|=0 就可以求出 a 的值，将 a 的值代入第二个等式就可求出 b 的值。解解: |a-5|=0， a-5=0， a=5， a=15。将 a=15 代入(a-5)|b+7|=a+5 得， (15-5)|b+7|=15+5 10|b+7|=20|b+7|=2 b+7=2 或 b+7=-2 b=-5 或 b=-9。三三.练习练习: (一)判断正误: 1.单项式-的系数是-，次数是 n+1。 ( ) 2.多项式 6x3-4x2y+3xy2-y3的项是 6x3，4x2y，3xy2，y3。 ( ) 3.多项式 ab3-a2b2-3a3b+2 是按
10、 a 的升幂排列的。 ( ) 4.m2n 没有系数。 ( ) 5.-13 是一次一项式。 ( ) (二)填空: 1.下列代数式中:x2-2x-1，m-n，-，x，。单项式有4_，多项式是_整式有_。2.填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c - 系数 次数 3.3x2-4x+5 是_次_项式。4.(k-2)x2-5x+9 是关于 x 的一次多项式，则 k=_。5.把多项式-5x6+x2y2-2x3y+6x2y3按 y 降幂排列为_，其中最高次项为 _。6.4xn+6xn+1+xn+2-xn+3（n 是自然数）是_次_项式，其中最高次项的系 数是_。7.-3xm+5xm+1
11、-6xm+2-1.5xm-1+4xm-2（m 是大于 2 的自然数）按 x 降幂排列为 _。8.若(|m|-2)2+(2n+1)2=0，则 mn=_。9.若 x，y 互为相反数，那么，3x+2y=_。10.如果多项式 x2-7x-2 和 3x2+5x+n 的常数相同，则 n-=_。11.当 m=_时，多项式 8x2+3mxy-5y2+xy-8 中不含 xy 项。12.若 10，b0, bn) 同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘18法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数 a 是不能为零 的，否则除数为零，除法就没有意义了。
12、又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定 mn。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于 1，即 amam=1,m 是任意自然数。a0, 即转化成 a0=1(a0)。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即 m-n0. =-+=+ 注意：例题的计算中的混合运算注意运算顺序，不要出现以下错误：a21a8a12=a21a20=x. 例例 10.计算：(1) (2a+b)5(2a+b)3 (2) x8(x4x2) (3) (a2)4(a3)4(a5)2 *(4) (x+y)(x+y)-1 解：解：(1) (
13、2a+b)5(2a+b)3 分析分析：此题为同底数幂相除 =(2a+b)5-3 底数为(2a+b)不变，指数相减 =(2a+b)2 (2) x8(x4x2) 分析分析：先做小括号内的运算 =x8(x4-2) 除法没有分配律，不能出现以下错误： =x8x2 如：x8(x4x2)=x8x4x2=x4x2=x2 =x8-2=x6 (3) (a2)4(a3)4(a5)2 分析分析：先做小括号乘方再做中括号乘法， =(a8a12) a10=a20a10 最后做除法 =a20-10=a10 *(4) (x+y)(x+y)-1 分析分析：可运用同底数幂相除的法则： =(x+y)1-(-1) 底数不变指数相减
14、，即底数(x+y) =(x+y)2 不变，指数：1-(-1)=2 20*幂的运算法则可归纳为： aman=am-n= 幂的运算法则的逆用幂的运算法则的逆用 学习了幂的运算法则后，同学们对法则的正向运用比较得心应手。但把它们逆过来运用却 不习惯，其实逆用幂的运算法则，能使难题变易、繁题变简。（有几个地方比较难，可能有的 同学看不懂。主要是希望大家先掌握这种逆用法则的思路，可以以后再回来看） 例例 1计算 (1) 82002(-0.125)2002； (2)(a-2)2+(2b+1)2=0,则 a2001b2001=_. 解：解：(1)原式=8(-0.125)2002=(-1)2002=1. (2
15、)a=2, b=-. a2001b2001=(ab)2001 =2(-)2001=-1. 例例 2计算(x-y)2(x+y)2(x2-xy+y2)2(x2+xy+y2)2 解：解：原式=(x-y)2(x2+xy+y2)2(x+y)2(x2-xy+y2)2 =(x-y)(x2+xy+y2)2(x+y)(x2-xy+y2)2 =(x3-y3)2(x3+y3)2=(x3-y3)(x3+y3)2 =(x6-y6)2=x12-2x6y6+y12. 例例 3已知 10a=5, 10b=6, 求：(1) 102a+b；(2) 10a-2b 的值。 解：解： 10a=5, 10b=6, (1) 102a+b=102a10b=(10a)210b=526=150； (2) 10a-2b=10a102b=10a(10b)2=562=.
