矩阵环的单侧理想

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1、本科毕业论文（设计、创作）本科毕业论文（设计、创作）题题 目：目： 矩阵环的单侧理想 学生姓名：学生姓名： 冯兆东 学号：学号： A00914178 院（系）：院（系）： 数学科学学院 专业：专业：数学与应用数学 入学时间：入学时间： 二九 年年 九 月月导师姓名：导师姓名： 葛茂荣 职称职称/ /学位：学位： 副副教授 导师所在单位：导师所在单位： 数学科学学院 完成时间：完成时间： 二一三 年年 六 月月矩阵环的单侧理想矩阵环的单侧理想摘要本文将证明: 若 是一个单环, 则是单环 ; 若 是一个有单位元的环，则 nMRRR一定是单环,并给出了主理想环上的矩阵环的全部理想的形式以及上三 nM

2、RI M I角形矩阵环一类理想的构造方法.讨论了实数域上矩阵环中的单侧理想、伪理想、双边理想, 给出了它们的结构和性质。关键词：矩阵环；单环；理想；关键词：矩阵环；单环；理想；伪理想伪理想; ; 双边理想双边理想The oneside ideal of matrix ringAbstractThe paper proved that R is single ring if is single ring, is single ring if R is nMR nMRsingle ring ,gave all ideal form of matrix ring with chief ideal I

3、 and an structural method M Iof all ideal of upper triangular matrix. In this paper, oneside ideal, Pseudo ideals and ideals in matrice ring on real number field are discussed, the structure and characters is given.Key words: matrix ring; single ring;ideal; Pseudo ideal; ideal目目 录录第一章第一章 前言前言.1 11.1

4、1.1 矩阵理论的发展史矩阵理论的发展史 .1 11.21.2 引言引言 .1 11.31.3 矩阵环的定义矩阵环的定义 .2 2第二章第二章 矩阵环矩阵环.2 22.12.1 单环单环 .2 22.22.2 单环与有单位元的环的关系单环与有单位元的环的关系 .4 4第三章第三章 矩阵环的理想形式矩阵环的理想形式.4 43.13.1 主理想环主理想环I上的矩阵环上的矩阵环 nMI 的理想的理想 .4 43.23.2 n n 阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法 .4 4第四章第四章 矩阵环中的单侧理想矩阵环中的单侧理想.6 64.14.1 单侧理想及伪理想单侧理

5、想及伪理想 .6 64.24.2 双边理想双边理想 .8 8主要参考文献主要参考文献.1010致致 谢谢.11111第一章第一章 前言前言1.1 矩阵理论的发展史根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于 19 世纪 50 年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850 年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1

6、855 年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858 年，凯莱在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878 年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849 一 1917)在他的论文中引入了矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等

7、概念，证明了两个矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879 年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念.矩阵的理论发展非常迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20 世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。1.2 引言我们知道，域上的线性空间是定义了加法与乘法运算的一种代数系统。PV除以上两种运算外，如果还定义了一个乘法运算，并且满足分配律与结合律，称这样的代数系统是一个结合代数，简称是一个代数。实数域上的全阵VVR环 中的理想只有平凡理想. 本文来讨论其中的广义理

8、想. 本文中的一 nMR切记号见2,特别是文中反复使用的表示第 行第 列的元素为 1, 其余元ijEij素为 0 的阶方阵, 左理想和右理想的概念见1 .n21.2.1 理想的定义 定义 1.2.12：非空子集称为代数的一个理想，如果WVV对加法和数乘运算封闭； iW对，一切形如及的元素的有限和都属于。 ii,wW vV wvvwW注：如果把改为一切形如的元素的有限和都属于，称为代数的一 iivwWWV个左理想，类似定义的右理想，把左理想（或右理想）称为单侧理想。V设是数域，是上矩阵的全体，上定义了三种运算：矩阵Pn npPn nn np加法，数乘矩阵，矩阵乘法，因此，不仅是一个维的线性空间，

9、还是n np2n上的一个有限（维）结合代数。本文的目的是刻画出的所有单侧理想。Pn np定义 1.2.2:环的理想叫做一个极大理想，如果并且对于的每一个RMMRR 理想，或。NMNRNMNR1.3 矩阵环的定义定义 1.3.12：设是环，上一切阶方阵关于矩阵的加法和乘法形成一RRn个环，叫做上的矩阵环，记为。R nMR环自身和 （记作）显然为的理想。除和以外的其他理想叫R 00RR0做的真理想。一个环可能没有真理想，这样的环叫单环。R定义 1.3.21: 设是环 ，是的非空子集 。中包含的一切理想的RXRR交集仍是的一个理想 ，叫做由生成的理想 ，记为()。由一个元素生RXXx成的理想()叫做

10、主理想 。如果一个环的每一个理想都是主理想 ，则称这个x环为主理想环。3第二章第二章 矩阵环矩阵环2.1 单环对单环的研究我们先提出下列问题：问题 1：如果是单环,那么是单环吗？ nMRR解答：设是单环, 假设有真理想, nMRRA(), (), () - (),ijaijb nMAijaijb nMA() , 令()()( ),ijx nMRijcijxija因为 , 所以 () ( ) .ijcnk 1ikkjx a Aijxija nMA同理可证 ()().ijaijx nMA所以是的一个理想. nMA nMR又是 的真理想, 所以存在, 但,ARrRrA所以 阶方阵 .n0.00.0.000.0r nMA所以 是的真理想, 这与是单环矛盾, 故 是单环. nMA nMR nMRR因此得到 定理 2.1.14 若是单环,则是单环。 nMRR问题 2：如果 是一个有单位元的单环, 那么 一定是单环吗？R nMR解答：设 是一个单环且有单位元, 假设 有真理想. 令R nMRB , ,1,abijklAaRbBk lk ln成立, ,ijijklmha bA