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1、1. （12 分）简答题 （1）随机过程的遍历性对于工程应用的实际意义。 （2）在分析平稳随机过程的概率结构时，为什么仅研究其功率谱密度，而不象确定性 过程那样研究其频谱？ 答：（1）有了遍历性，数据采样可随时间顺序抽样，遍历性是传统的参数估计、假设检验 等基本理论方法的理论正确的保障。 （6 分）（2）随机过程的样本函数一般不满足付氏变换的条件，随机过程的样本函数不易获取， 自相关与功率谱构成一付里叶变换对，而自相关对于平稳随机过程是极其重要的。 （6 分）2. （16 分）已知， （为实数，） ，与独立同分(0,1)XN1YaXbab、0a 1Y2Y布，。12ZYY（1）求的特征函数。Z
2、（2）利用特征函数求的二阶原点矩与二阶中心矩。Z （3）给出的概率密度函数。Z答：（1），的特征函数为，的特征函数为(0,1)XNX2/2( )u XCue1Y221/2( )()jubjuba u YXCueCauee（6 分）22122( )( )( )juba u ZYYCuCu Cuee（2）的二阶原点矩与二阶中心距分别为与。 （6Z2224ab22a分）（3），概率密度为。 （42(2 ,)ZNba22(2 )41( )2zbaf zea分）3. （25 分）随机过程，是已知的广义平稳过程，0( )( )cos( )Y tX ttt( )X t均匀分布在上，是常数。( ) t(0,2
3、 )0（1）若与相互独立，讨论的平稳性。( ) t( )X t( )Y t（2）若为零均值，方差为的实窄带平稳高斯过程，为其包络，求( )Y t2( )X t， 。( )E X t( )D X t（3）若为零均值，方差为的实窄带平稳高斯过程，为其包络，问( )Y t2( )X t与 是否独立？( )X t( ) t答：（1）00( ) ( )( )cos()( ) cos()Ym tE Y tE X ttE X t Et（3 分）2001cos()02Xmtd( ,) ( ) ()YR t tE Y t Y t 00( )() cos()cos()E X t X tEtt0001( ) cos
4、(22 )cos()2XREt （3 分）01( )cos()2XR （3 分）21( )(0)2XE YtR 所以，是广义平稳的。 （1 分）( )Y t（2） （8222 20( )2 0xXxexfx 其它分）， （4 分）( )2E X t2( )(2)2D X t（3）与在同一时刻独立，一般情况下相互不独立。( ) t( )X t其证明方法是求与的二维联合密度和二维边沿密度，可以得出二者不( ) t( )X t独立。 （3 分）4. （20 分）设某线性系统的传输函数（为虚数单位，为正实数）1( )1Hjaj1 2a 若输入平稳随机信号的自相关为，输出记为( )X t2( )XRe(
5、 )Y t（1）求自相关函数与平均功率。( )Y t( )YR（2）求的自相关系数和相关时间。( )Y t( )Yr0( )YYrd（3）比较与，哪个过程的起伏速度快？给出其原因。( )X t( )Y t答：（1），平均功率。 （82 2221( )4141a YaReeaa 1(0)21YRa分）（2） （2( )( )( )( )(21)( )(0)(0)( )YYY YY YYYKRRraRKRR分）（42 002121()21212a Yaaeedaa 分）（3），由于，2( )( )( )( )(0)(0)( )XXX X XXXKRRreKRR01 2X000YXa所以，可得过程的
6、起伏速度比过程快。 （400YX( )X t( )Y t分）原因，是低通滤波器，从滤去了高频信号得到低频信1( )1Hja( )X t( )Y t号，起伏速度比慢。 （2( )X t分）5. （12 分）设是零均值，方差为的实平稳高斯过程，是的希尔伯特( )X t2 X( )X t( )X t变换。（1）求证是零均值，方差为的实平稳高斯过程。( )X t2 X（2）求证：与在同一时刻是不相关的，是相互独立的。( )X t( )X t答：（1）是线性变换，正态的线性组合还是正态。 01( )( )XX tdt， 01( )( )0E XE X tdt由于，可得，所以也是零均值，( )( )XXR
7、R(0)(0)XXRR22 XX( )X t方差为的实平稳高斯过程。 （8 分）2 X（2）由于，所以，与在同一时刻是不相关的，正态( , )(0)0XXXXRt tR( )X t( )X t过程不相关与独立是等价的，所以与在同一时刻是独立的。 （4( )X t( )X t分）6. （15 分）一质点从原点出发，在直线上随机徘徊，质点每时刻作一次随机移动，用表示时刻质点随机移动的状态，其状态空间为(1,2,)nXn Ln，为表示质点没有移动，为正整数表示质点右移步，0,1,2,k Lk0kk为负整数表示质点左移步，kknkP Xkp1k kp相互独立，用表示时刻质点在直线上的坐标。12,nXX
8、XL(1,2,)nY n Ln（1）输出的状态空间。 nY（2）证明序列是一个马尔可夫链。 nY（3）求的一步转移概率。 nY答：（1）的状态空间为 （4 nY0,1,2,k L分）（2）由题意有：1121212,nnYX YXXYXXXLL1|nnj lP Yj YlP Xjlp112211|,nnnnP YlYlYl YlL 112211112211, ,nnnnnnP Yl YlYl Yl P YlYl YlL L 11122211111222111, ,nnnnnnnnnP XllXllXll Xl P XllXll XlL L 1111| nnnnnllnnnnP XllkP YlYl 所以，序列是一个马尔可夫链。 （7 分） nY（3）求一步转移概率为 nY1|Ynnj lpP Yj YlP Xjlp（40,1,2,0,1,2,lj LL分）
