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球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为 O，半径为 R，球体体积为 V，用垂直于半径 OA 的平面将半球分成 n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为 r1、r2、r3、rn nR由相交弦定理得 r12 = (2R) = R2() , nR nR n221 nr22 = (2R) = R2() ,， nR2 nR2 n22222 nr32 = (2R) = R2()， nR3 nR3 n32222 n rn2 = (2R ) = R2 （ ） nnR nnR nn222nnV半球 = 兀() +兀() +兀() nR3 n221 nnR3 n22222 nnR3 n32223 n+兀（ ） nR3 nn222nn=兀（+ ） nR3 n2 n22 n32 nn221 n222 n222 n22nn=兀（2）nR3 nn 32122222321 nn =兀n + 1nR3 612112 nnnn=兀 R3 nn1 612112 nnn=兀 R3 226134 nnn=兀 R3 （+）32261 21 nn当 n 趋近于时， = 0， = 0，n21261 n所以V半球 = 兀 R3（ + 0 + 0 ）32= 兀 R3 32V球体体积 = 兀 R3。34
