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1、初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称甲内容提要甲内容提要 1.轴对称和中心对称定义轴对称和中心对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线 叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够和另一个图形重合，那o么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心 2.轴对称图形和中心对称图形的定义轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折 叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互o相重合，那么这个图形
2、叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 3.性质性质：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形 对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中 点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线 相交，那么交点在对称轴上 4.常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱 形，正多边形，圆等； 中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等 乙例题乙例题 例 1.求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线 MN 是它的对称轴，对 应线段 AC 和 BD 的交点 O，在对称轴 MN 上ACBD D N
3、C AOB 和COD 都是等腰直角三角形， OM 和 ON 是它们的斜边中线 O OMAB，ONCD 21 21MN（ABCD） A M B 21梯形中位线与高相等 例 2.已知矩形 ABCD 的边 AB6，BC8，将矩形折叠，使点 C 和点A 重合，求折痕 EF 的长 解：折痕 EF 是对称点连线 AC 的中垂线 连结 AE，AECE， 设 AEx,则 BE8x 在 RABE 中，x2=(8-x)2+62 解得 x=，即 AE 425 425在 RtAOE 中，OE225)425(415EF2OE7.5 例 3.已知：ABC 中，ABAC,过点 A 的直线 MNBC，点 P 是 MN 上的任
4、意点 求证：PBPC2AB 证明： 当点 P 在 MN 上与点 A 重合时， PBPCABAC，即 PBPC2AB 当 P 不与 A 重合时 作点 C 关于直线 MN 的对称点 C， 则 PC，PC，AC，ACAB PAC，PACACB PAC，PACBAC180 oB，A，C，三点在同一直线上 PBPC，BC，即 PBPC2AB PBPC2AB 例 4.已知：平行四边形 ABCD 外一点 P0，点 P0关于点 A 的对称点 P1， P1关于点 B 的对称点 P2，P2关于点 C 的对称点 P3，P3关于点 D 的 对称点 P4 求证：P4与 P0重合 证明：（用同一法）顺次连结 P0，P1，
5、P2，P3，P4，根据中心对称图形性质， 点 A，B，C，D 分别为 P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点ABP0P2CD 连结 P0P3，取 P0P3的中点 D， 连结 D，C，则 D，CP0P2 CD，和 CD 重合， P4和 P0重合 例 5.正方形 ABCD 的边长为 a 求内接正三角形 AEF 的边长 解：正方形 ABCD 和等边三角形 AEF 都是轴对称图形，直线 AC 是它的 D,P4P3P2P1P0ABCDABCDOFEC,ABCNMP公共对称轴， 可知ABEADF BEDF，CECF 设等边三角形 AEF 边长为 x ，根据勾股定理得CE2CF2x2,CE=,BE=a
6、 x22x22在 RtABE 中，x2=( a)2+a2 x22x2+2ax4a2=0 2由根公式舍去负根，得 x=() a 2-6答：等边AEF 的边长是()a2-6丙练习丙练习 35 1.下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有 属中心对称而不是轴对称图形的有 既是轴对称又是中心对称的图形有 线段 角 等腰三角形 等腰梯形 矩形 菱形 平行四边形 正三角形 正方形 圆 2.坐标平面内，点 A 的坐标是（xa，yb）那么 点 A 关于横轴的对称点 B 的坐标是（ ） 点 A 关于纵轴的对称点 C 的坐标是（ ） 点 A 关于原点的对称点 D 的坐标是（ ） 3.坐标平面内，点 M（a,b）与点
7、 N（a,b）是关于的对称点点 P（m3,n）与点 Q（3m,n）是关于的对称点 4.已知：直线 m 的同一侧有两个点 A 和 B 求作：在 m 上一点 P，使 PAPB 为最小 5. 已知：等边ABC 求作：点 P，使PAB，PBC，PAC 都是等腰三角形 （本题有 10 个解，至少作出 4 个点 P） 6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点， 两底中点，这四点在同一直线上 （用轴对称性质） 7.已知：ABC 中，BCAC，从点 A 作C 平分线的垂线段 AD，点 Ea-2x2xaABCDEFmABABC是 AB 的中点求证：DE（BCAC） （1991 年德化县初中数学竞赛题）
8、年德化县初中数学竞赛题） 218.已知：ABC 中，ABAC，BD 是角平分线，BCABAD 求：C 的度数 （90 年泉州市双基赛题） 9.已知：正方形 ABCD 中，AB12，P 在 BC 上，且 BP5，把正方形折 叠使点 A 和点 P 重合， 求：折痕 EF 的长 10 .平行四边形 ABCD 的周长是 18cm,A 和B 的平分线相交于 M，点 O 是对称中心，OM1cm，求各边长11. ABC 中，B2C，AD 是角平分线，E 是 BC 的中点，EFAD 和 AB 的延长线交于点 F 求证 BD2BF （创建轴对称图形，过点 C 作 CGBC 交 AB 延长线于 G） 12. 正方
9、形 ABCD 的边长为 a,形内一点 P，P 到 AB 两端及边 BC 的距离都 相等，求这个距离。 13. 求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线 的四边形是平行四边形 （1988 年全国初中联赛题） 提示：用反证法，作ABD 关于点 O（对角线交点）的对称三角形14 矩形 ABCD 中，边 AB，对角线 AC=2，在矩形内O1和3BC、AC 分别切于点 E，F，O2与 AD，AC 分别切于 M，N 求：ACB 与O2AN 的度数 如果折叠 矩形后(折痕为 AC)，点 O2落在 AB 边上的点 K 处： 在图上画出点 K 确切位置，并说明理由； 设O1，O2的半径都等于
10、 R，试求折叠矩形后，两圆外离时的 圆心距与 R 的取值范围。 (1996 年泉州市中考题年泉州市中考题) 15.已知：AD 是ABC 的外角平分线，点这 P 在射线 AD 上求证：PB+PCAB+AC 16.已知：坐标平面内，点 A 关于横轴的对称点为 B，点 A 关于原点的对 称点为 C 求证： 点 B 和点 C 是关于纵轴的对称点 17.已知：AD 是等腰直角三角形 ABC 斜边上的高，BM，BN 三等分ABC 并和 AD 顺次交于 M，N，连结并延长 CN 交 AB 于 E，求证：EMBN参考答案 练习 35 1.； 2.（x+a,-y+b）（-x-a,y-b）（-x-a,-y+b）
11、3.原点；纵轴。 4.作点 A 关于直线 m 的对称点 5.作 AB 和 BC 的中垂线，其交点 P1；以 A 为圆心，AC 为半径作弧交 BC 的中垂线于 P2，P3；以 C 为圆心，CA 为半径作弧交 BC 的中垂线 于 P4，其余的 6 个点可用类似方法作出 6.等腰梯形的对称轴是底边的中垂线，对应线段的交点在对称轴上 7.延长 AD 交 BC 于 F，DE 是ABF 的中位线 8.延长 BA 到 E 使 AEAD，则EBD 和CBD 关于 BD 对称 9.EF 是 AP 中垂线，作 EGCD 于 G，可证明EFGAPB 10. 延长 AM 和 BC 相交于 N，则 BNAB 11. 以 AD 为轴作ADC 的对称ADG12. a8513.ABD 绕点 O 旋转 180 ，点 A 落在射线 OC 上的某点 A，设点 A，o不是点 C，则BA，D 大于或小于BCD14.60 ，30 0R（1） ，1d 2oo 213315.以 AD 为轴作点 C 的对称点 C1 16.（略）17.AD 是ABC 的对称轴，CM，CN 也三等分ACB，点 N 是 AEC 的内心
