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1、第四章第四章 几个初等函数的性质几个初等函数的性质一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+） ，当 01 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点 （0，1） 。2分数指数幂：。 nmnmnnnmnm nn aaaaaaaa1,1,1 3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 01 时， y=logax 为增函数。 4对数的性质（M0, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= lo
2、ga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，NM5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).nMn1 abcc loglog5. 函数 y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为xaa,a和。 （请读者自己用定义证明）0 ,aa, 0 6连续函数的性质：若 a0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-10， f(1)=
3、b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则（）（ niia12）()2，等号当且仅当存在R，使 ai=, i=1, 2, , n 时成立。 niib12 niiiba1ib【证明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=, niia12 niiiba1 niib12 niiibxa12)(因为0，且对任意 xR, f(x)0， niia12所以=4()-4（）()0. niiiba1 niia12 niib12展开得（）()()2。 niia12 niib1
4、2 niiiba1 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。ib例 3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=的最小值。 yyxx11【解】u=xy+xy+2 yyxx11 xyxy yx1xy1 xy yx=xy+2.xy1令 xy=t，则 00，所以=pq pq.251例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，wzyx1111求证：a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=
5、lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，w1 x1 w1 y1 w1 z1相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，w1 zyx111 wzyx1111所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】
6、由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得，bx cxxaaaa aloglog2 logloglog因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1。设 f(x)= , 则 f(x)在(-xxx 65 32 21xxx 65 32 21,+)上是减函数
7、，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例 8 解方程组：（其中 x, yR+）.312xyyxyxyx【解】 两边取对数，则原方程组可化为 .3lg)(lg12lg)( glxyyxyxyx把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为 .24;112211 yxyx例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有
8、解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足. 00)(22222axakxaxakx若、同时成立，则必成立，故只需解. 0)(222akxaxakx由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=，代入得k.kka 2)1 (2 kk 212若 k1，所以 k0，则 k20 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b). 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_。8若 x=，则与 x 最接近的整数是_。31log131log151 219函数的单调递增区间是_。 xx
9、y11 11log2110函数 f(x)=的值域为_。 2 ,23 5212xxxx11设 f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中 n 为给定正整数, n2, aR.若 f(x)在 x(- ,1时有意义，求 a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程=2 有一解，二解，无解？)lg(2lg axx 四、高考水平训练题1函数 f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.18x2已知不等式 x2-logmx0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|. 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_
10、.8若 x=，则与 x 最接近的整数是_.31log131log151 219函数 y=的单调递增区间是_. xx11 11log2110函数 f(x)=的值域为_. 2 ,23 5212xxxx11设 f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中 n 为给定正整数，n2,aR。若 f(x) 在 x(-,1时有意义，求 a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程=2 有一解，二解，无解？)lg(2lg axx 四、高考水平训练题1函数 f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.18x2已知不等式 x2-logmx10, y10, xy=1000，则(lgx)(lgy)的取
11、值范围是_. 7若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是_.8函数 f(x)=的定义域为 R，若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个 101|1|lg| xxx不同的实数解，则 b, c 应满足的充要条件是_. （1）b0；（2）b0 且 c0 且 a1, f(x)=loga(x+)(x1)， （1）求 f(x)的反函数 f-1(x)；（2）若 f-1(n)12xx1 x2 x30，都有 log1993+ log1993+ log1993 klog199310 xx210 xx32 xx30 xx恒成立，则 k 的最大值为_.3实
12、数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则的值为_.minmax11 SS4已知 00 的解集为_.2212log211logxx9已知 a1, b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).10 （1）试画出由方程所确定的函数 y=f(x)图象。21 2lg)2(log)2lg()6lg(101 yxxx（2）若函数 y=ax+与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。2111对于任意 nN+(n1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn。n3nnn 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题1设 x,
13、y, zR+且 x+y+z=1，求 u=的最小值。22222213 13 13 zzz yyy xxx 2当 a 为何值时，不等式 loglog5(x2+ax+6)+loga30 有且只有一个) 15(2 1 axxn 解（a1 且 a1） 。 3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何 x, y1及 u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数 f(x).u41 v414. 求所有函数 f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。 5设 m14 是一个整数，函数 f：NN 定义如下：f(n)=,22)13(
14、14mnmnffmnmn求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ. 7是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个 n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成 立。 8设 p, q 是任意自然数，求证：存在这样的 f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合） ，使对 x轴上的某个长为的开区间中的每一个数 x, 有q1.1)(2qqpxf9设 ， 为实数，求所有 f: R+R，使得对任意的 x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立。 22ffxx
