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1、第九届第九届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛少年数学邀请赛总决赛初一组二试试题及解答初一组二试试题及解答1甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患 x 病或 y 病中的一种，经 过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人。问：经过这几天治疗后， 是否可能甲医院对 x 病的治愈率和对 y 病的治愈均低于乙医院的？举例说明。(x 病治愈率=）病总人数患病治好人数%100xx解。可能。列表如下：X 病Y 病病愈甲医院病人数10900+63=63 甲医院病愈人数百分比0%70% 乙医院病人数901045+10=55 乙医院病愈人数百分比50%100%设乙医院接受 90 个 x
2、 病人，10 个 y 病人，治愈率分别为 50%和 100%；甲医院接受 10个 x 病人，90 个 y 病人治愈率分别为 0%和 70%。则乙医院治愈的病人数是 55 人；甲医院治愈的病人数是 63 人。2在长方形 ABCD 中，BF=AE=3 厘米，DE=6 厘米。 三 角 形 GEC 的面积是 20 平方厘米，三角形 GFD 的面 积是 16 平方厘米。那么，长方形 ABCD 的面积是 多少平方厘米？ 解。设 AG=a厘米，BG=b厘米。则).(9 ,5 . 4),( 3 ,5 . 1baSbSbaSaSABCDGBCEDCAGE 长方形面积面积面积面积所以9()1.53()4.5 20
3、abaabb4.51.520(1)abL L L L即以及，4.5 ,3(),AGDDFCSaSab面积面积所以，1.5 ,GBFSb面积)2(165 . 45 . 1,165 . 1)( 35 . 4)(9LLLbabbaaba即由（1）和（2）得到，平方厘米）(5469ABCD, 6的面积因此，长方形ba。 解 2。. 963EDAEBCAB 分别向长方形 ABCD 外作梯形 AQSD 和 BPRC 使得 AQ=AG, BP=BG, SD=CD=CR.设 CD=AB=AG+BG=x.16 ,20PFRGFDQESGECSSSS则.PFRQESEFRSEFPQPQSRSSSSS梯形梯形梯形即
4、,16206)3(213)2(219)32(21xxxxxx整理得.549 . 6,366 ,36233 245xSxxxxABCD3甲、乙、丙三辆汽车分别从的顶点,A,B,C 出ABC 发，选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a)。每辆车沿直 线路段到相会地点。三辆车的单位路程耗油量分别为。要使三辆车路上所用的油量之和最少，相会.81,61,31地点应选在何处？最小油量是多少（用 a,b,c 表示）？ 解。设会面地点在 O，（O 在 AB 上666, ,cyxcyxzOCyOBxOA取等号）（O 在 AC 上取等号）888,bzxbzx（O 在 AB 和 AC 的交点出 A 取等号）
5、又.8686247bczyx（当 x=0 时，即 O 取在 A 点时取等号） 。.8686247 86248 863bczyxzyxzyx答。相会地点选在 A 点三人在路上所用的油量之和最少；最少值为.86bc4用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的 16 倍。求所有这样 的自然数之和。 解。n 不可能是一位数、两位数和四位数，,LL. 21,635228),(1610100acbacbacbaabcn即设。,52281cba 时，当144192或abc.624288192144 ,288,52562abccba时，当5求同时满足下列三个条件的自然数 :,ba1） 2） 3）。; b
6、a ;169 baab是平方数ba 解。若不是整数。设1),(),(1,),(bbaababa则baab ,1),( dba. 1),( , , ,169dbdad baab其中所以， k是 169 的因数。因此，.169),(,kkdd令整除169.13, 1或或k当 k=169 时，不满足要求。169 ba当221413,1413,1413,141311313babadk，时，不满足要求。2170,170,169170,17011691babadk。，时，当答。.170,169170ba6如图，长方阵，行距和列距都是 1。第 6 列上(除与第 0 行相交处外)，每7101一个阵点上放有一个
7、靶标，而前 5 列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第 0 行第 0 列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。 若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那 么1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？解。我们将第 x 列第 y 行的阵点记为(x,y). 在（6，a）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的 直线上若有阵点 B(x,y)(如下图),则连接 OA, B 点在 OA 上，连接 BC.，此即ABCBOCAOCSSSaxyaxyaaxya 666)6(66，令最大公约数6a xyd
8、vadwda,6 ,), 6(wdvd wv wva ) 1() 1( 22 6LAB 线段上共有d-1 个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d-1 个障碍物。 所以，要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹。 1）若, 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要 1 发子弹就能击毁。1001 a 不超过 100 的自然数中，既不能被 2 整除，也不能被 3 整除的数与 6 互质。 1 到 100 的自然数被 2 整除的数的个数=100/2=50； 1 到 100 的自然数被 3 整除的数的个数=100/3=33； 1 到 100 的自然数被 6 整除的数的个数=100/6=16。 故 1 到 100 的自然数或被 2 整除，或被 3 整除的数的个数=50+33-16=67。因此， 100 以内的自然数与 6 互质的数的个数=100-67=33，即有 33 个靶标只需要一发子 弹就能击毁。 2）若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物，那么最大公约数(6,a)=2。100 以内的自然数，能被 2 整除，但不能被 6 整除的数有 50-16=34 个.所以，用两发子弹就能清除的靶标有 34 个。
