《年广东省高二数学竞赛试卷含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《年广东省高二数学竞赛试卷含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2009 年广东省广雅中学高二数学竞赛试卷 2009.5.6命题人:杨志明4:00-6:00三题 号二（11）（12）（13）（14）（15）合 计得 分评卷员考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内1. 若,则 的最小值是（ ）xR22 229( )l
2、og (22)6f xxmxmmA2 B4 C D2log 92log 121 选 D .解据题意, ,所以,即或.22 29220,6xmxmxRm0 6m 6m .设.(,6)( 6,)D U2222 2299( )22()66g xxmxmxmmmm取,则,xmD22 min2299( )662 961266g xmmmm当且仅当,或取等号.其中.2 2966mm263m 29m 23m 3mD 所以,时, 最小.29m 3m ( )g x与有相同的增减性,所以.( )f x( )g xmin2( )log 12f x2如图是一个正方形纸盒的展开图，若把 1、2、3、4、5、6 分别填入
3、小正方形后，再折 成正方体，则所得正方体对面上两数的和不都相等的概率是( ).A B C D1 31 214 152 32. C.考虑对立事件：a 与 b，c 与 d，e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有 2 种填法,而整体填法1 32C 1 22C 共有种填法，所以符合题意的概率为：42 62AA.42 626 4 214115PAA 3定义两种运算：，则函数为（ ab22ab2()abab2( )(2)2xf xx） （A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数3A.2222222222( )( 2,2)|2| 2(2)2xx
4、xf xxxxx 4圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点 跳到另一点若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个 点该青蛙从 5 这点开始起跳，经 2008 次跳动，最终停在的点为 ( )A4 B3 C2 D14D二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 36 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数 z= . 5.2-2i.由题意知 b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR)
5、,即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：2440,0,bba b 即 z=2-2i.2,2,ba 6在直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则 m 的取值范 围为 .6(0,5).方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 12)32(222yyxyx,|32|) 1(122yxyxm其表示双曲线上一点（x,y)到定点（0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=5|32|) 1(522yxyxm,又由 e1,可得 0b0) ，12222 by ax由已知 ,21, 2acea -2 分
6、2221 ,3 ,cbac 椭圆方程为 -4 分13422 yx（）解法一 椭圆右焦点 0 , 1F设直线方程为（R R） -5 分PQ1xmym由 得 -6 分221,1,43xmyxy0964322myym显然，方程的0设，则有 -8 分 2211,yxQyxP439,436221221myymmyy 43364336112222 22 212 mmmmyymPQ 43112 43112222222 mmmm， 解得724PQ724 4311222 mm1m直线PQ 方程为，即或 -12 分1yx01 yx01 yx解法二： 椭圆右焦点当直线的斜率不存在时，不合题意 0 , 1F3PQ设直
7、线方程为， -5 分PQ) 1( xky由 得 -6 分,1243,122yxxky01248432222kxkxk显然，方程的0设，则 -8 分 2211,yxQyxP2221222143124,438 kkxxkkxx212 21241xxxxkPQ 22222 2 4312444381kk kkk= 34112 34112222222 kkkk，解得724PQ724 3411222 kk1k直线的方程为，即或 -12 分PQ1xy01 yx01 yx（）不可能是等边三角形 -13 分APQ如果是等边三角形，必有，APQAQAP ，2 22 22 12 122yxyx 0421212121
8、yyyyxxxx，-16 分 0621212121yyyyyymyym， 21yy 061212myym06436122mmmm，或（无解） 0m143122 mm而当时，不能构成等边三角形0m3 53,2PQAPAQ不可能是等边三角形-20 分APQ14设抛物线的焦点为 F，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线2:xyC02: yxl C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. （1）求APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明PFA=PFB.14解：（1）设切点 A、B 坐标分别为，22 01110( ,)( ,)()x xx xxx和切线 AP 的方程为
9、：; 022 00xyxx切线 BP 的方程为：; 022 11xyxx解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以APB 的重心 G 的坐标为 ，PP Gxxxxx3102222 01010101014(),3333PpP Gxyyyyxxx xxxx xy所以，由点 P 在直线l上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：243GGpxyy).24(31, 02)43(22xxyxyx即（2）方法 1：因为2201 000111111(,),(,),( ,).4244xxFAx xFPx xFBx xuu u ruu u ruu u r由于 P 点在抛物线外，则. 0|FP201 0
10、01001222 00111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FAAFPFPFAFPFPxx uu u r uu u r uu u ruu u ruu u ruu u r同理有201 101101222 11111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FBBFPFPFBFPFPxx uu u r uu u r uu u ruu u ruu u ruu u rAFP=PFB.方法 2：当所以 P 点坐标为，, 0, 0,0000101yxxxxx则不妨设由于时)0 ,2(1x则 P 点到直线 AF 的距离为：,4141:;2|12 1 1 1x
11、xx yBFxd 的方程而直线即. 041)41(112 1xyxxx所以 P 点到直线 BF 的距离为：22111 111 2 2222111|11|()|()|4 2442 121()()44xxxxxxd xxx 所以 d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线 AF 的方程：001xx2 02 000 01 1114(0),()0,4044x yxxxx yxx 即直线 BF 的方程：2 12 111 11 1114(0),()0,4044x yxxxx yxx 即所以 P 点到直线 AF 的距离为：2220101 0010001 1 2222000111|()()|)()|42424
12、 121()44xxxxxx xxxxxd xxx 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB2|01 2xxd14（本小题满分 20 分）设 x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底） 1axxbf xexa0e（1）求与的关系式（用表示） ，并求的单调区间；abab f x（2）若在闭区间上的最小值为 0，最大值为, 且。 ，试求与 f xm,m+11 2ae0m m的值a 14 （1）的定义域为，( )f x(- ,-1)(-1,+ ) 2211axaxaba xabbf xe x 由已知得， 4 分 10f+(ab+a)+ab+b-l=0a1 2 21aba 从而， 223121 1axaa xxafxe x 令 得： 8 分 0fx 122
