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1、专题八：立体几何 【考点分析考点分析】高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究,进而讨论几何体。因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力。多面体和棱柱、棱锥、正多面体、球是空间直线与平面问题的延续和深化。要熟练掌握概念、性质以及它们的体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题来解，会运用“割补法”等求解。本章主要考
2、查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离、面积及体积。考试要求（）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。（）掌握两条直线平行与垂直的判定、性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念。（3）掌握直线和平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握直线和平面所成的角、距离的概念。了解三垂线定理及其逆定理。（4）掌握两个平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。（5）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面体的概
3、念。（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（7）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（8）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。【疑难点拔疑难点拔】1、 立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。2、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。3、
4、求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。4、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。5、立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。6、（1995 年全国文 24、理 23）如图，圆柱的轴截面 ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，AF DE，F 是垂足。（1） 求证：AF DB ；（2） （理）如果圆柱与三棱柱 D-ABE 的体积比等于 3，求直线 DE 与平面 ABCD 所成的角。（文）求点 E 到截面 ABCD 的距离
5、。评述：本题主要考查圆柱的概念，两异面直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角。主要考查空间想象能力和逻辑推理能力。分析本题考生答题失误大致有如下几点：（1）缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“DA、AE、EB 三线两两垂直”这个本质关系，解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生。（2）未能找到 DE 与平面 ABCD 所成的角（3）未能正确和准确地进行推理计算，随意列写各种关系，盲目换算。（4）数值计算出现差错。专题八： 立体几何【经典题例经典题例】例 1：在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为AF、AD、BE、DE 的中
6、点。将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ所成的度数为（ ）A 90 B 60 C 45 D 00000思路分析将三角形折成三棱锥以后，HG 与 IJ 为一对异面直线。过点 D 分别作 HG 与IJ 的平行线，即 DF 与 AD。所以ADF 即为所求。故 HG 与 IJ 所成角为 600小结本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例 2：正六棱柱 ABCDEF-A B C D E F
7、 的底面边长为 1，侧棱长为，则这1111112VABC EPABC DO个棱柱的侧面对角线 E D 与 BC 所成的角是（ ）11A 90 B 60 C 45 D 300000思路分析连接 FE 、FD，则由正六棱柱相关性质得 FE /BC 。在中，111EFDEF=ED=1，。在直角三角形 EFE 和 E ED 中，易得 E0120FED3FD11F=E D=。113是等边三角形。即 BC 与 DE 所成的角为 60 。FDE10 160DFE110小结本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。例 3：如图，在底面边长为 2 的正三棱锥 VABC 中，E 是 BC 的中点，若的面
8、积是，则侧棱 VA 与底面所成的角的大小为：_ VAE41（结果用反三角函数值表示） 。思路分析作 VO 垂直 AE，由正三棱锥 VABC 得 O 为中心。则 AE=2=，ABC233得 VO=tanVAO=，得 VA 与底面所成的角的大小,41 21VOAE,321 41AOVO为 arctan41小结本题主要考查正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与求法。例 4：若正三棱锥底面边长为 4，体积为 1，则侧面和底面所成二面角的大小为：_ （结果用反三角函数值表示） 思路分析设棱锥的高为 h，如图则 V=，D 为 BC 的43, 160sin4421 31hho中点，OD=易证为侧面与底面
9、所成二面角的平面.332423 31 31ADPDO角，故。8333243tanODPO83arctan小结本题主要考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算。例 5：关于直角 AOB 在定平面内的射影有如下判断：（1）可能是 0 的角；o（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是 180的角。其中正确判断的序号是： （注：把你认为是正确判断的序号都填o上） 。思路分析答案：1、2、3、4、5。小结这是考核空间想象能力的问题。例 6：如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面ABCD，SB=。3（1） 求证 BC;SC（2） 求面
10、ASD 与面 BSC 所成二面角的大小。（3） 设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小。S思路分析本题涉及到求二面角及异面直线所成角的问题，因此要先作出（找出）二面角的平面角及异面直线所成角，再求解。小结本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。例 7：已知正四棱柱 ABCD-A B C D ，如图，AB=1，AA =2，点 E 为 CC 的中111111点。（1） 证明：EF 为 BD 与 CC 的公垂线；11（2） 求点 D 到面 BDE 的距离。1思路分析证明公垂线问题与求点到面的距离采用建立适当的空间坐标系，利用空
11、间向量来证明及求解比较适合。小结本题主要考查正四棱柱的性质及运用空间向量解决问题的能力。 例 8：在三棱锥 SABC 中，且 AC=BC=5，SB=5o90ACBSACSABABCDABCDEFA1B1C1D1ABCDEA1B1C1D1FSACB，如图。5 证明：SCBC；（1） 求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（2） 求三棱锥的体积 V。ABCS思路分析由题意可以得是二面角的平面角，故在 Rt 与 Rt可求SCASCBSAC得。又由 Rt可求得 SA=，故可得 V。o60SCASAC7563125ABCS小结 本题主要考查空间想象能力、灵活运用所学知识解决问题的能力。【热身
12、冲刺热身冲刺】一、选择题：1一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）（A）30 （B）45 （C）60 ooo（D）75o2两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5 cm、4cm、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）（A） （B） （C） （D）cm77cm27cm55cm2103等边三角形 ABC 的边长为 4，M、N 分别为 AB、AC 的中点，沿 MN 将折起，使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30 ，则四棱锥 AMNCBAMNo的体积为（ ）（A） （B） （C） 23 233（D）
13、34若二面角为 120 ，直线 m,则所在平面内的直线与 m 所成角lo的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） o90, 0oo60,30oo90,60（D）oo90,305关于直线 a、b 、 及平面 M、N，下列命题中正确的是 l（ ）（A）若 a / M,b / M,则 a / b （B）若 a / M,ba,则 bM （C）若 a且则 （D）若,MbMlbla ,Ml 则,/,NaMa NM 6棱长为 a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A） （B） （C） 33a 43a 63a（D）123a7一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此
14、球的表面2积为（ ）（A）3 （B）4 （C） 33（D）68 已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A）2 （B） （C） 2R2 49R2 38R（D）2 25R9在下列条件中，可判断平面与平行的是 （ ）（A）都垂直于平面 （B）内存在不共线的三点到的、距离相等 （C） 、m 是内两条直线，且 / ll/,m（D） 、是两条异面直线，且lm/,/,/,/mlml10在正三棱柱 ABCA B C 中，若 AB=BB ，则 AB 与 C B 所成的角的大1112111小为（A）60 （B）90 （C）105 ooo（D）75o二、填空题：11将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形。要使它们的面积之和最小，正方形的周长应为：_
