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1、一、单元知识网络一、单元知识网络二、考试目标要求二、考试目标要求1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效 的数学模型.2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程.3.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程 中的分式不超过两个).4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.三、知识考点梳理三、知识考点梳理 考点一：等式性质考点一：等式性质1.等式的两边都加上(或减去)同一个整式，结果仍是等式.2.等式的两边都乘以同一个数，结果仍是等式.
2、3.等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是等式.考点二：方程及相关概念考点二：方程及相关概念 1.方程定义方程定义含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解方程的解使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).3.解方程解方程求方程的解的过程，叫做解方程.考点三：一元一次方程考点三：一元一次方程 1.一元一次方程定义一元一次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.2.一元一次方程的一般形式一元一次方程的一般形式:.3.解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系
3、数化成 1；(6)检验(检验步骤可 以不写出来)考点四：二元一次方程组考点四：二元一次方程组 1.二元一次方程组定义二元一次方程组定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元 一次方程组.2.二元一次方程组的一般形式二元一次方程组的一般形式:3. 二元一次方程组的解法：二元一次方程组的解法：(1) 代入消元法；(2) 加减消元法.考点五：分式方程考点五：分式方程 1.分式方程定义分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程与整式方程的联系与区别：分式方程与整式方程的联系与区别：分母中是否含有未知数.3.分类分类:(1)可化为一元一次方程的分式方
4、程；(2)可化为一元二次方程的分式方程.4.解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤：(1)去分母，化为整式方程：把各分母分解因式；找出各分母的最简公分母；方程两边各项乘以最简公分母；(2)解整式方程.(3)检验(检验步骤必需写出来). 把未知数的值代入原方程(一般方法)； 把未知数的值代入最简公分母(简 便方法).(4)结论确定分式方程的解.考点六：一元二次方程考点六：一元二次方程 1.一元二次方程定义一元二次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：.3.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：(1)配方
5、法1)通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.2)用配方解方程的一般步骤:化 1:把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数)； 移项:把常数项移到方程的右边；配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方； 变形:方程左边写成完全平方形式，右边合并同类；开方:求平方根；求解:解一元一次方程；定解:写出原方程的解.(2)公式法:1)一元二次方程: 当时，它的根是2)用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular).3)用公式法解题的一般步骤:变形:化已知方程为一般形式；确定系数:用 a，b，c 写出各项系数；计算: 的值；代入:把有关数值
6、代入公式计算；定根:写出原方程的根.(3)因式分解法:1)当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:化方程为一般形式；将方程左边因式分解；根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零” ，转化为两个一元一次方程；分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.考点七：一元二次方程根的判别式考点七：一元二次方程根的判别式我们知道:代数式对于方程的根起着关键的作用.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
7、所以我们把叫做方程的根的判别式，用“”来表示，即.考点八：列方程考点八：列方程( (组组) )解应用题的一般步骤：解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整.3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组).4.解:解所列的方程(组).5.验: (有三次检验 是否是所列方程(组)的解；是否使代数式有意义；是否满足 实际意义).6.答:注意单位和语言完整.四、规律方法指导四、规律方法指导复习本专题时应抓住其实质：元和次，在定义上区分方程(组)的各种类型，并能够根 据定义具有的双重性解方程(
8、组)和研究分式方程增根、失根情况.在解方程(组)时，把握住 转化的数学思想：化多元为一元，化高次为低次，化分式为整式；采取的手段是加减消元 法、代入消元法、因式分解法、换元降次法、去分母等方法；对于特殊形式的方程(组)可采取对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊方法求解.列方程(组)解应 用题要善于从社会关注的热点问题中寻找题中的等量关系.经典例题透析经典例题透析类型一：一元一次方程类型一：一元一次方程1若是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是( )A. B.-2 C.2 D.4思路点拨：思路点拨：根据一元一次方程的定义，首先要满足未知项系数不为 0，其次未知项的最高次数为
9、1.解：解：且，所以.举一反三：举一反三：【变式 1】关于 x 的一元一次方程的解为_.思路点拨：思路点拨：根据一元一次方程的定义.解析：解析：原方程是一元一次方程，则有两种情况：(1)当 k-1=1，即 k=2 时，原方程为 3x+x-8=0，解之得 x=2；(2)当且时，也就是当 k=-1 时，原方程化为-2x-8=0，解之得 x=-4；所以原方程的解为 x=2 或 x=-4.故答案为 x=2 或 x=-4.总结升华：总结升华：运用一元一次方程的概念特征解题，可以从两个方面把握：其一是应用概念的本质属性作出正确的判断；其二是在这一概念下，根据概念具备的本质特征得出相应的结论(如本例中的 k
10、-1=1 和且)，在解题过程中不断探索，实现解题目的.2解方程：(1)； (2)(-1)-2-2x=3.思路点拨：思路点拨：(1)因为方程含有分母，应先去分母.注意每一项都要乘以 6；(2)此方程含括号，因为=1，所以先去中括号简便.解：解：(1)两边同时乘以 6，(去分母)得3(x+1)=2x-(3x-1)-6x，去括号，得 3x+3=2x-3x+1-6x移项后整理，得 10x=-2，.(2)去中括号：(-1)-2x=3去小括号：-1-2x=3去分母：5x-20-24-40x=60移项：5x-40x=60+44合并同类项：-35x=104系数化成 1 得：x=-.总结升华：总结升华：(1)去
11、分母时，在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.要注意不要漏掉不含分母的项；(2)去括号，按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号.特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号.括号前有数字因数时要注意使用分配律；(3)移项注意要改变性质符号；(4)技巧性解法的发现需要认真观察问题的结构特征，需要突破习惯性思维的束缚.举一反三：举一反三：【变式 1】解下列方程(1)8-9x=9-8x； (2)；(3)； (4).解：解：(1)8-9x=9-8x-9x+8x=9-8-x=1x=-1易错点关注：易错点关注：移项时忘了变号；(2)法一：4(2x-1)-3(5x+1)=248x
12、-4-15x-3=24-7x=31易错点关注：易错点关注：两边同乘以各方面的最小公倍数，注意等号右边的单个数字 1 也要乘以24；注意去分母后的去括号问题，4(2x-1)错解为 8x-1，分配需逐项分配，-3(5x+1)化为-15x+3 忘了去括号变号；法二：(就用分数算)易错点关注：易错点关注：此处易错点是第一步拆分式时将，忽略此处有一个括号前面是负号，去掉括号要变号的问题，即；(3)6x-3(3-2x)=6-(x+2)6x-9+6x=6-x-212x+x=4+913x=13x=1易错点关注：易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；(4)2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10
13、(1.2-x)8x-3-25x+4=12-10x8x-25x+10x=12+3-4-7x=11易错点关注：易错点关注：此题首先需面对分母中的小数，有同学会忘了小数运算的细则，不能发现，而是两边同乘以 0.50.2 进行去分母变形，更有思维跳跃的同学错认为 0.50.2=1，两边同乘以 1，将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x).总结升华：总结升华：无论什么样的一元一次方程，其解题步骤概括无非就是“去分母，去括号，移项，合并，未知数系数化 1”这几个步骤，从操作步骤上来讲很容易掌握，但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节，许多都是我们认识问题的思维瑕点，
14、需反复关注，并落实理解记忆才能保证解方程问题做的正确率.若仍不够自信，还可以用检验步骤予以辅助，理解方程“解”的概念.类型二：一元二次方程类型二：一元二次方程3已知：3 是关于 x 的方程的一个解，则 2a 的值是( )A.11 B.12 C.13 D.14解：解：只需将 x=3 代入方程，再解方程 12-2a+1=0，得到，所以 2a 为 13.故选 C.总结升华：总结升华：此题既考察了方程解的概念，又考查了方程的解法，这种用方程解的概念求待定系数的题目是较为常见的.举一反三：举一反三：【变式 1】已知 x=-1 是关于 x 的方程的一个根，则 a=_.解：解：把 x=-1 代入原方程，得，
15、即 a2+a-2=0所以，解得 a1=1，a2=-2.答案：答案：1 或-2.总结升华：总结升华：方程的解一定适合原方程，把这个解代入原方程求出 a 的值.【变式 2】已知关于 x 的一元二次方程 x2-(k1)x-6=0 的一个根是 2，求方程的另一根和 k 的值.解：解：把 x=2 代入方程，得 4-2k-2-6=0k=-2.原方程为 x2+x-6=0解之得：x1=2，x2=-3所以方程的另一根为-3，k 值为-2.4按要求解一元二次方程.(1)x2+4x+4=1(直接开平方法)思路点拨：思路点拨：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方式，那么原方程就转化为(x+2)2=1解：解：由已知，
16、得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=1即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3. (2)6x2-7x+1=0(配方法)解：解：移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为 1，得：x2-x=-配方，得：x2-x+()2=-+()2(x-)2=x-= x1=+=1；x2=-+=.(3)5x+2=3x2(公式法)思路点拨：思路点拨：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可解：解：将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490x=所以 x1=2，x2=-.(4)(x-2)2=2x-4(因式分解法)思路点拨：思路点拨：等号右侧移项到左侧得-2x+4 提取-2 因式，即-2(x-2)，再提取公因式 x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为 0 的形
