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1、11 数学方法选讲(1)同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来,要提高解决问题的能力,要能在竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。1. 两人坐在一张长方形桌子旁,相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上,后放的硬币不能压在先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币
2、为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问:先放的人有没有必定取胜的策略?2线段 AB 上有 1998 个点(包括 A,B 两点),将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色。这时,图中共有 1997 条互不重叠的线段。问:两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?31000 个学生坐成一圈,依次编号为 1,2,3,1000。现在进行 1,2 报数:1 号学生报 1 后立即离开,2 号学生报 2 并留下,3 号学生报 1 后立即离开,4 号学生报 2 并留下学生们依次交替报 1 或 2,凡报 1 的学生立即离开,报 2 的学生留下,如此进行下去,直到最后还剩下一个人。问
3、:这个学生的编号是几号?4在 66 的正方形网格中,把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列,使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的。那么,总共至少要涂红多少小方格?二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑,对于数值问题来说,就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来说,指的是线段的端点,三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件,求解也就会变得容易得多。5新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门,他知道每把钥匙只能打开其中的一个门,但不知道哪一把钥匙开哪一个门,现在要打开所有关闭的 20 个门,他最多要开多少次?6有 n 名(n3)选手参加的一次乒
4、乓球循环赛中,没有一个全胜的。问:是否能够找到三名选手 A,B,C,使得 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A?7n(n3)名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。试证明,总可以从中去掉一名选手,而使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。8在一个 88 的方格棋盘的方格中,填入从 1 到 64 这 64 个数。问:是否一定能够找到两个相邻的方格,它们中所填数的差大于 4?三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象,不纠缠于问题的各项具体的细节,从而能够拓宽思路,抓住主要矛盾,一举解决问题。9右图是一个 44 的表格,每个方格中填入了数字 0 或 1。
5、按下列规则进行“操作”:每次可以同时改变某一行的数字:1 变成 0,0 变成 1。问:能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1?10有三堆石子,每堆分别有 1998,998,98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”:每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子,或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”,能否把这三堆石子都取光?如行,请设计一种取石子的方案;如不行,请说明理由。11我们将若干个数 x,y,z,的最大值和最小值分别记为 max(x,y,z,)和min(x,y,z,)。已知 a+b+c+d+e+f+g=1,求minmax(a+b+c,b+c+d,c+d+
6、e,d+e+f,e+f+g)课后练习1.方程 x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一个自然数解吗?为什么?2.连续自然数 1,2,3,8899 排成一列。从 1 开始,留 1 划掉 2 和 3,留 4 划掉 5 和 6这么转圈划下去,最后留下的是哪个数?3.给出一个自然数 n,n 的约数的个数用一个记号 A(n)来表示。例如当 n=6 时,因 为 6 的约数有 1,2,3,6 四个,所以 A(6)=4。已知 a1,a2,a10是 10 个互不相同 的质数,又 x 为 a1,a2,a10的积,求 A(x)。4.平面上有 100 个点,无三点共线。将某些点用线段连结起来
7、,但线段不能相交,直 到不能再连结时为止。问:是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形,它的内部 没有其余 97 个点中的任何一个点?5.在一块平地上站着 5 个小朋友,每两个小朋友之间的距离都不相同,每个小朋友手 上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后,每人用枪射击距离他最近的人。问:射击后有 没有一个小朋友身上是干的?为什么?6.把 1600 粒花生分给 100 只猴子,请你说明不管怎样分,至少有 4 只猴子分的花生一 样多。7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶,乙桶装的是酒精(未满)。现在从甲桶 取一满杯奶倒入乙桶,然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶,这时,是甲桶中的酒精多, 还是乙
8、桶中的牛奶多?为什么?8.在黑板上写上 1,2,3,1998。按下列规定进行“操作”:每次擦去其中的任 意两个数 a 和 b,然后写上它们的差(大减小),直到黑板上剩下一个数为止。问:黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?课后练习答案1.有。解:当 n=2 时,方程 x1+x2=x1x2有一个自然数解:x1=2,x2=2;当 n=3 时,方程 x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解:x1=1,x2=2,x3=3;当 n=4 时,方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4。一般地,方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3x
9、n-1xn有一个自然数解:x1=1,x2=1,xn-2=1,xn-1=2,xn=n。2.3508。解:仿例 3。当有 3n个数时,留下的数是 1 号。小于 8899 的形如 3n的数是 38=6561,故从 1 号开始按规则划数,划了 8899- 6561=2338(个)数后,还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 238823+1=3507,故 最后留下的就是 3508。3.1024。解:质数 a1有 2 个约数:1 和 a,从而 A(a1)=2;2 个质数 a1,a2的积有 4 个约数:1,a1,a2,a1a2,从而A(a1a2)=4=22;3 个质数 a1,a2,a3的积有 8 个约
10、数:1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3,从而 A(a1a2a3)=8=23;于是,10 个质数 a1,a2,a10的积的约数个数为A(x)=210=1024。4.存在。提示:如果一个三角形内还有别的点,那么这个点与三角形的三个顶点还能连结,与 已“不能再连结”矛盾。5.有。解:设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友,显然他们应该互射。此时如果有其他的 小朋友射向他们中的一个,即 A,B 中有一人挨了两枪,那么其他三人中必然有一人身上 是干的。如果没有其他的小朋友射向 A 或 B,那么我们再考虑剩下的三个人 D,E,F:若 D,E 的距离是三人中最近的,则 D,
11、E 互射,而 F 必然射向他们之间的一个,此时 F 身上 是干的。6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多,那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们从所 需花生最少情况出发考虑:得 1 粒、2 粒、3 粒32 粒的猴子各有 3 只,得 33 粒花生的猴子有 1 只,于是 100 只猴子最少需要分得花生3(0+1+2+32)+33=1617(粒),现在只有 1600 粒花生,无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多,故至少有 4 只猴子分 的花生一样多。7.一样多。提示:从整体看,甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精, 就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以,甲桶中的酒精和乙桶中
12、的牛奶一样多。8.奇数。解:黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+1998=1997001,是一个奇数,而每一次“操作”,将(a+b)变成了(a-b),实际上减少了 2b,即减 少了一个偶数。因为从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,所以最后黑板上 剩下一个奇数。例题答案:1分析与解:如果桌子大小只能容纳一枚硬币,那么先放的人当然能够取胜。然后设想桌面变大,注意到长方形有一个对称中心,先放者将第一枚硬币放在桌子的中心,继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上,这样进行下去,必然轮到先放者放最后一枚硬币。2分析:从最简单的情况考虑:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段只
13、有1 条,是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整:将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时,异色线段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的,因此与条件中染色的任意性就一致了。解:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段仅有 1 条,是一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时,这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色,则异色小线段的条数或者增加 2 条(相邻的两个点同为红色),或者减少 2 条(相邻的两个点同为蓝色);这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色,则异色小线段的条数不变。综上所述,改变任意个点的颜色,异色线段的条数的改变总是一个偶数,从而异色线段的条数是一个奇数。
14、3分析:这个问题与上一讲练习中的第 8 题非常相似,只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下,而上讲练习中相当于报 1 的留下报 2 的离开,由上讲练习的结果可以推出本例的答案。本例中编号为 1 的学生离开后还剩 999 人,此时,如果原来报 2 的全部改报 1 并留下,原来报 1 的全部改报 2 并离开,那么,问题就与上讲练习第 8 题完全一样了。因为剩下 999人时,第 1 人是 2 号,所以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大 1,是9751=976(号)。为了加深理解,我们重新解这道题。解:如果有 2n个人,那么报完第 1 圈后,剩下的是 2 的倍数号;报完第 2 圈后,剩下的是 22
15、的倍数号报完第 n 圈后,剩下的是 2n的倍数号,此时,只剩下一人,是 2n号。如果有(2nd)(1d2n)人,那么当有 d 人退出圈子后还剩下 2n人。因为下一个该退出去的是(2d1)号,所以此时的第(2d1)号相当于 2n人时的第 1 号,而 2d 号相当于 2n人时的第 2n号,所以最后剩下的是第 2d 号。由 1000=29488 知,最后剩下的学生的编号是4882=976(号)。4分析与解:先考虑每行每列都有一格涂红,比较方便的涂法是在一条对角线上涂 6 格红色的,如图 1。任意划掉 3 行 3 列,可以设想划行划列的原则是:每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1,划掉 3 行去掉
16、3 个红格,还有 3 个红格恰在 3 列中,再划掉 3 列就不存在红格了。所以,必然有一些行有一些列要涂 2 个红格,为了尽可能地少涂红格,那么每涂一格红色的,一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。先考虑有 3 行中有 2 格涂红,如图 2。显然,同时也必然有 3 个列中也有 2 格涂红。这时,我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行,还剩下 3 行,每行上只有一格涂红,每列上也只有一格涂红,那么在划掉带红格的 3 列就没有红格了。为了使得至少余下一个红格,只要再涂一格。此红格要使图中再增加一行和一列有两个红格的,如图 3。结论是:至少需要涂红 10 个方格。5. 解:从最不利的极端情况考虑:打开第一个房间要 20 次,打开第二个房间需要 19次共计最多要开2019181=210(次)。6. 解:从极端情况观察入手,设 B 是胜的次数最多的一个选手,但因 B 没获全胜,故必有选手 A 胜 B。在败给 B 的选手中,一定有