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1、11 数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币
2、为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？2线段 AB 上有 1998 个点（包括 A，B 两点），将点 A 染成红色，点 B 染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有 1997 条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？31000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，1000。现在进行 1，2 报数：1 号学生报 1 后立即离开，2 号学生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下学生们依次交替报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问
3、：这个学生的编号是几号？4在 66 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。5新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的 20 个门，他最多要开多少次？6有 n 名（n3）选手参加的一次乒
4、乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手 A，B，C，使得 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 A？7n（n3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。8在一个 88 的方格棋盘的方格中，填入从 1 到 64 这 64 个数。问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于 4？三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。9右图是一个 44 的表格，每个方格中填入了数字 0 或 1。
5、按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1 变成 0，0 变成 1。问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1？10有三堆石子，每堆分别有 1998，998，98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。11我们将若干个数 x，y，z，的最大值和最小值分别记为 max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知 a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+
6、e，d+e+f，e+f+g）课后练习1.方程 x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数 1，2，3，8899 排成一列。从 1 开始，留 1 划掉 2 和 3，留 4 划掉 5 和 6这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数 n，n 的约数的个数用一个记号 A（n）来表示。例如当 n=6 时，因 为 6 的约数有 1，2，3，6 四个，所以 A（6）=4。已知 a1，a2，a10是 10 个互不相同 的质数，又 x 为 a1，a2，a10的积，求 A（x）。4.平面上有 100 个点，无三点共线。将某些点用线段连结起来
7、，但线段不能相交，直 到不能再连结时为止。问：是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部 没有其余 97 个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着 5 个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手 上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有 没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把 1600 粒花生分给 100 只猴子，请你说明不管怎样分，至少有 4 只猴子分的花生一 样多。7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶 取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多， 还是乙
8、桶中的牛奶多？为什么？8.在黑板上写上 1，2，3，1998。按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任 意两个数 a 和 b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？课后练习答案1.有。解：当 n=2 时，方程 x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2，x2=2；当 n=3 时，方程 x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1，x2=2，x3=3；当 n=4 时，方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。一般地，方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3x
9、n-1xn有一个自然数解：x1=1，x2=1，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。2.3508。解：仿例 3。当有 3n个数时，留下的数是 1 号。小于 8899 的形如 3n的数是 38=6561，故从 1 号开始按规则划数，划了 8899- 6561=2338（个）数后，还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 238823+1=3507，故 最后留下的就是 3508。3.1024。解：质数 a1有 2 个约数：1 和 a，从而 A（a1）=2；2 个质数 a1，a2的积有 4 个约数：1，a1，a2，a1a2，从而A（a1a2）=4=22；3 个质数 a1，a2，a3的积有 8 个约
10、数：1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，从而 A（a1a2a3）=8=23；于是，10 个质数 a1，a2，a10的积的约数个数为A（x）=210=1024。4.存在。提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与 已“不能再连结”矛盾。5.有。解：设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。此时如果有其他的 小朋友射向他们中的一个，即 A，B 中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上 是干的。如果没有其他的小朋友射向 A 或 B，那么我们再考虑剩下的三个人 D，E，F：若 D，E 的距离是三人中最近的，则 D，
11、E 互射，而 F 必然射向他们之间的一个，此时 F 身上 是干的。6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多，那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们从所 需花生最少情况出发考虑：得 1 粒、2 粒、3 粒32 粒的猴子各有 3 只，得 33 粒花生的猴子有 1 只，于是 100 只猴子最少需要分得花生3（0+1+2+32）+33=1617（粒），现在只有 1600 粒花生，无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多，故至少有 4 只猴子分 的花生一样多。7.一样多。提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精， 就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中
12、的牛奶一样多。8.奇数。解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+1998=1997001，是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了 2b，即减 少了一个偶数。因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上 剩下一个奇数。例题答案：1分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。2分析：从最简单的情况考虑：如果中间的 1996 个点全部染成红色，这时异色线段只
13、有1 条，是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。解：如果中间的 1996 个点全部染成红色，这时异色线段仅有 1 条，是一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加 2 条（相邻的两个点同为红色），或者减少 2 条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。
14、3分析：这个问题与上一讲练习中的第 8 题非常相似，只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下，而上讲练习中相当于报 1 的留下报 2 的离开，由上讲练习的结果可以推出本例的答案。本例中编号为 1 的学生离开后还剩 999 人，此时，如果原来报 2 的全部改报 1 并留下，原来报 1 的全部改报 2 并离开，那么，问题就与上讲练习第 8 题完全一样了。因为剩下 999人时，第 1 人是 2 号，所以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大 1，是9751=976（号）。为了加深理解，我们重新解这道题。解：如果有 2n个人，那么报完第 1 圈后，剩下的是 2 的倍数号；报完第 2 圈后，剩下的是 22
15、的倍数号报完第 n 圈后，剩下的是 2n的倍数号，此时，只剩下一人，是 2n号。如果有（2nd）（1d2n）人，那么当有 d 人退出圈子后还剩下 2n人。因为下一个该退出去的是（2d1）号，所以此时的第（2d1）号相当于 2n人时的第 1 号，而 2d 号相当于 2n人时的第 2n号，所以最后剩下的是第 2d 号。由 1000=29488 知，最后剩下的学生的编号是4882=976（号）。4分析与解：先考虑每行每列都有一格涂红，比较方便的涂法是在一条对角线上涂 6 格红色的，如图 1。任意划掉 3 行 3 列，可以设想划行划列的原则是：每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1，划掉 3 行去掉
16、3 个红格，还有 3 个红格恰在 3 列中，再划掉 3 列就不存在红格了。所以，必然有一些行有一些列要涂 2 个红格，为了尽可能地少涂红格，那么每涂一格红色的，一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。先考虑有 3 行中有 2 格涂红，如图 2。显然，同时也必然有 3 个列中也有 2 格涂红。这时，我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行，还剩下 3 行，每行上只有一格涂红，每列上也只有一格涂红，那么在划掉带红格的 3 列就没有红格了。为了使得至少余下一个红格，只要再涂一格。此红格要使图中再增加一行和一列有两个红格的，如图 3。结论是：至少需要涂红 10 个方格。5. 解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要 20 次，打开第二个房间需要 19次共计最多要开2019181=210（次）。6. 解：从极端情况观察入手，设 B 是胜的次数最多的一个选手，但因 B 没获全胜，故必有选手 A 胜 B。在败给 B 的选手中，一定有
