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1、 1 陈强，2015 年， 计量经济学及 Stata 应用 ，高等教育出版社。 第第 3 章章 数学回顾数学回顾 3.1 微积分微积分 1.导数导数 对于一元函数( )yf x，记其一阶导数(first derivative)为dy dx或( )fx，其定义为 00()( )( )limlim xxdyyf xxf xfxdxxx (3.1) 2“” 表示 “定义” 。 几何上， (一阶)导数就是函数( )yf x在x处 的切线斜率，参见图 3.1。 图 3.1 导数的示意图 xy = f(x) 3一阶导数( )fx仍是x的函数，可定义( )fx的导数，即二阶导数 (second deriva
2、tive)： 22( )( )dydd ydxfxfxdxdx (3.2) 直观上，二阶导数表示切线斜率的变化速度，即曲线( )f x的弯 曲程度，也称“曲率”(curvature)。 2.一元最优化一元最优化 计量中常见的两种估计方法为最小二乘法与最大似然估计。 二 者 都 是 最 优 化 问 题 (optimization) ， 前 者 为 最 小 化 问 题 (minimization)，后者为最大化问题(maximization)。 4考虑无约束的一元最大化问题(参见图 3.2)， max( ) xf x (3.3) 图 3.2 最大化的示意图 函数( )f x在山峰顶端*x处达到最大
3、值。在山顶*x处，( )f x的 切线恰好为水平线，故切线斜率为 0。 x*( )f xx5故一元最大化问题的必要条件为 *()0fx (3.4) 称为一阶条件(first order condition)。考虑无约束一元最小化 问题(参见图 3.3)， min( ) xf x (3.5) 图 3.3 最小化的示意图 x*( )f xx6最小化问题的一阶条件与最大化问题相同，都要求在最优值*x处的切线斜率为 0，即*()0fx。 二者的区别仅在于二阶条件(second order condition)，即最大 化要求二阶导数*()0fx，而最小化要求*()0fx。 一般假设二阶条件满足，主要关
4、注一阶条件。 3.偏导数偏导数 对于多元函数12( ,)nyf x xx，定义y对于1x的偏导数(partial derivative)为 1121120111( ,)(,)limnnxf x xxf xx xxy xxx (3.6) 7在计算y对1x的一阶偏导数时，首先给定2,nxx为常数(视为参 数)，则12( ,)nyf x xx可看成1x的一元函数1( , )yf x。 1y x 便是此“一元函数”1( , )yf x的导数。 类似地，可定义y对(2, )ixin的偏导数iy x 。 8在经济学中，如果12( ,)nyf x xx为效用函数，则1y x 表示商品1x所能带来的边际效用(
5、marginal utility)。 如果12( ,)nyf x xx为生产函数， 则1y x 表示生产要素1x所能带来的边际产出(marginal output)。 4.多元最优化多元最优化 考虑无约束的多元最大化问题， 12max( )(,)nff xxx xx (3.7) 其中，12(,)nxxxx。 9一阶条件要求在最优值*x处，所有偏导数均为 0： 12*()()()0nfffxxxxxx(3.8) 多元最小化的一阶条件与此相同。 此一阶条件要求在最优值*x处，曲面( )f x在各个方向的切线斜 率都为 0。 105.积分 考虑计算连续函数( )yf x在区间,a b上的面积，参见图
6、 3.4。 图 3.4 定积分的示意图 将区间,a b划分为n等分，即1121,na xx xxb，从每个a( )f xxb( )baf x dx11区间1,iixx(1,in )中任取一点i(记 a 为0x，而 b 为nx)。 每个区间的长度为baxn ，此面积近似等于1( )ni ifx。 不断细分这些区间，让n ，可得此面积的精确值，即函数( )f x在区间,a b上的定积分(definite integral)： 1( )lim( )nbianif x dxfx (3.9) 在极限处， 将x记为dx， 将求和符号(英文Summation)记为，由大写字母 S 向上拉长而成。 定积分的实
7、质就是求和(只不过是无穷多项之和)。 123.2 线性代数线性代数 1.矩阵 .矩阵 将mn个实数排列成如下矩状的阵形， 111212122212nnmmmnaaa aaaaaa A (3.10) 称A为mn级矩阵(matrix)，m 为矩阵A的行数(row dimension)，n 为矩阵A的列数(column dimension)。A中元素ija表示矩阵A的第i 行、第 j 列元素。 13矩阵A有时也记为m nA，以强调矩阵的维度。 如果A中所有元素都为 0，则称为零矩阵(zero matrix)，记为0。 零矩阵在矩阵运算中的作用，相当于 0 在数的运算中的作用。 2.方阵 .方阵 如果
8、mn，则称A为 n 级方阵(square matrix)，即 111212122212nnnnnnaaa aaaaaa A (3.11) 14称1122,nnaaa为主对角线上的元素(diagonal elements)， 而A中 的其他元素为非主对角线元素(off-diagonal elements)。 如果方阵A中的元素满足ijjiaa(任意,1,i jn )，则称矩阵A为对称矩阵(symmetric matrix)。 如果方阵A的非主对角线元素全部为 0，则称为对角矩阵 (diagonal matrix)： 112200 0000nna aa A (3.12) 15如果一个 n 级对角矩
9、阵的主对角线元素都为 1，则称为 n 级单 位矩阵(identity matrix)，记为I或nI： 100010001nn n II (3.13) 单位矩阵在矩阵运算中的作用，相当于 1 在数的运算中的作用。 163.矩阵的转置 .矩阵的转置 如果将矩阵()ijm naA的第 1 行变为第 1 列，第 2 行变为第 2列，第 m 行变为第 m 列，可得其转置矩阵(transpose)，记 为A(英文读为A prime)，其维度为nm。 矩阵A的( , )i j元素()ijA正好是矩阵A的( , )j i元素( )jiA，即 ()( )ijjiAA (3.14) 如果A为对称矩阵，则A的转置还
10、是它本身，即 AA。 矩阵转置的转置仍是它本身，即() AA。 174.向量 .向量 如果1m ，则矩阵1nA为 n 维行向量(row vector)。 如果1n ，则矩阵1mA为 m 维列向量(column vector)。 向量是矩阵的特例。 考察 n 维列向量12()naaa a与12()nb bb b。 向量a与b的内积(inner product)或点乘(dot product)可定义为 1812 121 12 2 1nnn ni i inb baaaa ba ba babb a b (3.15) 如果0 a b，则称向量a与b正交(orthogonal)，意味着两个向量 在 n 维
11、向量空间中相互垂直(夹角为 90 度)，参见图 3.5。 图 3.5 正交的向量 a0b19任何形如1ni i iab的乘积求和，都可写为向量内积a b的形式。 平方和21ni ia可写为a a： 122222 1212 1nnni ina aaaaaaaaa a a (3.16) 205.矩阵的加法.矩阵的加法 如果两个矩阵的维度相同，则可相加。 对于mn级矩阵()ijm naA，()ijm nbB，矩阵A与B之和定义为两个矩阵相应元素之和，即 ()()()ijm nijm nijijm nababAB (3.17) 矩阵加法满足以下规则： (1)A0A (加上零矩阵不改变矩阵) (2)AB
12、BA (加法交换律) (3)()()ABCABC (加法结合律) (4)()ABAB (转置为线性运算) 216.矩阵的数乘 .矩阵的数乘 矩阵()ijm naA与实数k的数乘(scalar multiplication)定义为此实数 k 与矩阵()ijm naA每个元素的乘积： ()()ijm nijm nkk akaA (3.18) 7.矩阵的乘法 .矩阵的乘法 如果矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，则可以定义矩阵乘积 (matrix multiplication)AB，简记AB。 22假设矩阵()ijm naA，矩阵()ijn qbB，则矩阵乘积AB的( , )i j元素即为矩阵A第 i
13、行与矩阵B的第 j 列的内积： 12 12 1()jnj ijiiinikkj knjb baaaa bb AB (3.19) 矩阵乘法不满足交换律，即一般来说，ABBA。 只有矩阵B的列数 q 等于矩阵A的行数 m，n qm nBA才有定义。 23在 做 矩 阵 乘 法 时 ， 需 区 分 左 乘 (premultiplication) 与 右 乘 (postmultiplication)。A左乘B为AB，而A右乘B为BA。 矩阵的乘法满足以下规则： (1)IAA，AIA (乘以单位矩阵不改变矩阵) (2)()()AB CA BC (乘法结合律) (3)()A BCABAC (乘法分配律)
14、(4)() ABB A，() ABCC B A (转置与乘积的混合运算) 248.线性方程组 .线性方程组 考虑由 n 个方程，n 个未知数构成的线性方程组： 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xb a xa xa xba xa xa xb (3.20) 12()nxxx为未知数。根据矩阵乘法定义，可将上式写为 11121112122212212nnnnnnnaaaxb aaaxbaaaxb xAb (3.21) 25记上式中的相应矩阵分别为A，x与b，可得 Axb (3.22) 如将此方程左边的方阵A“除”到右边去，可得x的解。为此， 引入逆矩阵的概念。 9.逆矩阵 .逆矩阵 对于 n 级方阵A，如果存在 n 级方阵B，使得nABBAI，则 称A为可逆矩阵(invertible matrix)或非退化矩阵(nonsingular matrix)，而B为A的逆矩阵(inverse matrix)，记为1A。 26逆矩阵的逆矩阵还是矩阵本身
