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1、1.21.2 余弦定理（余弦定理（1 1）教学目标：教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力教学重点：教学重点：余弦定理及其应用；教学难点：教学难点：用解析法证明余弦定理教学方法：教学方法：发现教学法教学过程：教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式的两边与（为中边上的ACBABCADADABCBC高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理Cc Bb Aa sinsinsin探索探索 1 1 还有其他途径将向量等式数量化吗？ACBABC二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段因为（如图 1
2、） ，所以ACBABC）（）（ACBAACBABCBC222ACBAACBA2222cos2)180cos(2bAcbcACABAACBAABC图 1即 ，Abccbacos2222同理可得 ，Baccabcos2222CabBaccos2222上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍引出课题余弦定理 三、三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：，Abccbacos2222，Baccabcos2222Cabbaccos2222探索探索 2 2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理师生共同活动，探索证明过程经过讨论，可归纳出如下方法方法一
3、：如图 2 建立直角坐标系，则)0 ,(),sin,cos(),0 , 0(bCAcAcBA所以22222222cos2sincossincosbAbcAcAcAcbAcaAbccbcos222同理可证：，Baccabcos2222Cabbaccos2222方法二：若是锐角，如图 3，由作，垂足为，则ABACBD DAcADcosAC图 2Byx所以，22222222(ACAD)ACAD2AC ADBDaDCBDBD，AbccbADACBDADACcos22-)(22222即，Abccbacos2222类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立AA同理可证 ，Bacca
4、bcos2222Cabbaccos2222方法三：由正弦定理，得)sin(2sin2CBRARa所以 )coscossinsin2sincoscos(sin4)(sin422222222CBCBCBCBRCBRacoscossinsin2sin)sin1 ()sin1 (sin422222CBCBCBCBR)cos(sinsin2sinsin4222CBCBCBRACRBRCRBRcos)sin2)(sin2(2sin4sin42222Abccbcos222同理可证 ，Baccabcos2222Cabbaccos2222余弦定理也可以写成如下形式：，bcacbA2cos222，cabacB2c
5、os222abcbaC2cos222探索探索 3 3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、数学运用1例题例 1 在中，ABC（1）已知，求；60, 1, 3Acba（2）已知求最大角的余弦值, 6,10, 7cba解 （1）由余弦定理，得 ，760cos13213cos222222Abccba所以 7a（2） 因为，所以为最大角，bacB由余弦定理，得285 7621076 2cos222222 cabacB例 2 用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝A
6、BCC222cbaC角时，222cba证明：当为锐角时，由余弦定理得C0cosC22222cos2baCabbac即 ；222cba同理可证，当为钝角时，C222cba2练习（1）在中，已知，求ABC3, 5, 7cbaA（2）若三条线段的长分别为 5，6，7，则用这三条线段（ ）A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形（3）在中，已知，试求的大小ABC222cabbaC练习答案：（1） （2） （3）32AB32C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
