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1、 第十课时第十课时 函数的奇偶性（函数的奇偶性（1 1）【学习导航学习导航】 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1了解函数奇偶性的含义； 2掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性； 3初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质 自学评价自学评价 1 1偶函数的定义：偶函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数( )yf xx()( )fxf x是偶函数( )yf x注意：（） “任意” 、 “都有”等关键词； （）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；x 2 2奇函数的定义：奇函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函( )y
2、f xx()( )fxf x 数是奇函数( )yf x3 3函数图像与单调性：函数图像与单调性：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称y4 4函数奇偶性证明的步骤：函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系 ；()fx( )f x(3)下结论 .【精典范例精典范例】 一判断函数的奇偶性：一判断函数的奇偶性： 例例 1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 判断下列函数的奇偶性：函数奇偶性奇偶性定义奇偶性与函数图像奇偶性的证明 单调区间定义(1) (2)3( )f xxx( )31f xx(3)，64( )8f xxx 2
3、,2)x (4) (5)( )0f x 42( )23f xxx 析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。【解】(1) 函数的定义域为，关于原点对称，3( )f xxxR且，所以该函数是奇函数。33()()()( )fxxxxxf x (2)函数的定义域为，关于原点对称，( )31f xxR且，所以该函数既不是奇函数也不是()3() 131( )fxxxf x ()( )fxf x 偶函数，即是非奇非偶函数。(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数64( )8f xxx 2,2)x 2,2) 是非奇非偶函数。 (4)函数的定义域为，关于原点对称，所以该函( )0f x R()0( )(
4、 )fxf xf x 数既是奇函数又是偶函数。(5) 函数的定义域为，关于原点对称，42( )23f xxxR，所以该函数是偶函数。4242()2()3()23( )fxxxxxf x二根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：二根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：例例 2 2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值( )yf xR(0)f【解】是定义域为的奇函数，( )yf xR对任意实数都成立，()( )fxf x x把代入得0x ()( )fxf x ，(0)(0)ff (0)0f三已知函数的奇偶性求参数值：三已知函数的奇偶性求参数值：例例 3 3：已知函数是偶函数，求实数的值2( )(2)(
5、1)3f xmxmxm【解】是偶函数，恒成立，2( )(2)(1)3f xmxmx()( )fxf x即恒成立，2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立，即2(1)0mx10m 1m 追踪训练一追踪训练一1. 给定四个函数；其中是奇函数的33yxx1(0)yxx31yx21xyx个数是(B)个 个 ( )A( )B听课随笔个 个( )C()D2. 如果二次函数是偶函数，则 2(3)(0)yaxbxc ab 3. 判断下列函数的奇偶性：（1） 22(1)( )(1)1xf xxx（2）21( )2 |2|xf xx（3）22( )11f xxx解：(1)函数的定义域为，关于
6、原点对称，22(1)( )(1)1xf xxx( 1,1)222(1)( )(1)11(1)11xf xxxxxxx 对于定义域中的任意一个，x22()1 ()1( )fxxxf x 所以该函数是偶函数；(2)函数 的定义域得关于原点对称，此时21( )2 |2|xf xx2102 |2| 0xx 1,0)(0,1x U222111( )2 |2|2 (2)xxxf xxxx对于定义域中的任意一个， x221 ()1( )( )()xxf xf xxx 所以该函数是奇函数；(3) 函数的定义域为关于原点对称，此时22( )11f xxx 1,1，所以该函数既是奇函数又是偶函数。( )0, 1,
7、1f xx 【选修延伸选修延伸】 构造函数的奇偶性求函数值：构造函数的奇偶性求函数值： 例例: : 已知函数若，求的值。53( )8f xxaxbx( 2)10f (2)f析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自, a b 变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。 【解】方法一： 由题意得53( 2)( 2)( 2)( 2)8fab 53(2)2228fab 得( 2)(2)16ff ( 2)10f (2)26f 方法二： 构造函数，( )( )8g xf x则一定是奇函数53( )g xxaxbx又， ( 2)10f ( 2)18g 因此 所以，即(2)
8、18g (2)818f (2)26f 说明：如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；( )yf x( )yf x根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数 也不是偶函数； 奇、偶函数的定义域关于“0”对称如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该 函数既不是奇函数也不是偶函数；思维点拔：思维点拔：一、等式一、等式和和的变形形式：的变形形式：()( )fxf x()( )fxf x 我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是()fx或以外，我们还可以看到其等价形式、( )f x( )f x0)()()()(xfxfxfxf或当恒成立
9、时，也有0)()()()(xfxfxfxf( )0f x 、()()( )1( )fxfxf xf x()()( )1( )fxfxf xf x 追踪训练追踪训练 1下列结论正确的是： (C ) 偶函数的图象一定与轴相交；( )Ay奇函数的图象一定过原点；( )B偶函数的图象若不经过原点，则它与 轴的交点的个数一定是偶数；( )Cx定义在上的增函数一定是奇函数()DR2. 若函数为奇函数，且当时，则当时，有（C） （ f x0x 1f xx0x ）( )A f x0( )B f x00 ( )C f xfx()D f xfx03. 设函数 f（x）在（，）内有定义，下列函数y=| f（x）|y
10、=xf（x2）y=f（x）y= f（x）f（x）中必为奇函数的有_ （要求填写正确答案的序号） 听课随笔听课随笔 4. 设奇函数 f（x）的定义域为5,5. 若当 x0,5时, f（x）的图象如下图,则 不等式的解是 .( )0f x ( 2,0)(2,5)U5若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且( ), ( )f x g xR( )f x( )g x，求的表达式 21( )( )1f xg xxx( )f x解：由题意得：221( )( )1 1( )( )1f xg xxxf xg xxx 则22111( )()211f xxxxx【师生互动师生互动】学生质疑学生质疑教师释疑教师释疑
