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1、数列专题复习数列专题复习 2 2数列中的数学思想数列中的数学思想教学目标：教学目标：1知识与技能：能够灵活运用方程思想、化归与转化思想、函数思想对数列问题进行求解2过程与方法：使学生在已掌握的数列题型求解方法上进一步提高解题水平，明确数列与数学思想的内在联系教学重点：教学重点：掌握数列题型中数学思想方法的应用；教学难点：教学难点：掌握数列题型中数学思想方法的应用教学方法教学方法 ：讲练结合、自主探究教学过程：教学过程：一、问题情境问题 1我们以前的学习中接触过哪些数学思想方法？问题 2前一段的数列学习中运用了哪些数学思想方法？二、学生活动1数列中有方程思想、化归与转化思想、函数与数形结合思想2
2、讨论并从习题中找出具体的题目中分别体现哪些思想方法三、建构数学引导学生自己总结出数学中几种思想方法（一）数列中的方程思想：等差数列有两个基本量，等比数列有两个基本量，等差与等比数列的两个da ,1qa ,1基本问题都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个关于基 本量的方程组来nnSa ,求解，这种方法又可称为基本量法（二）数列中的化归与转化思想：我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决（三）数列中的函数与数形结合思想：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前项和公式都可以看成的函数，特别nn是等差数列的通项公式可以看成是的一次函数，而其求和公式可以
3、看成是常数项为零的n二次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析，加以解决四、数学运用例 1 在等比数列中， na如果 .12344060aaaa，那么78aa分析 以等比数列的首项和公比为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使1aq运算简化.解 ，112 23 11403 602aa qqa qa q135)23(40)1 (36 17 16 187qqaqaqaaa变式 已知等比数列中前 8 项的和，前 16 项的和，求. na308S15016S20S解 设的公比为，当时， naq1q415308118aaS， 故.875150161116aaS1q 8 116 11301111
4、5021aqqaqq 得 带入（1）式可得， 218841542qqq 1011 qa. 31011 1154 120 1 20qqa qqaS点评 解题过程中应注意对等比数列中这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需1q要有整体思想，即必须把当成一个整体来解.qa 11例 2 已知数列满足，且， na121nnaa11a（1）证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式.1na na解 （1）令，故只需证是等比数列，1nnab nb，2112 1112 1111nnnnnnnn aa aa aa bb2111 ab数列是以为首项，为公比的等比数列. nb22即数列是以为首项，为公比的等比数列.1
5、na22（2），即，nn nb2221n na21.12 n na变式 已知数列的前项和满足，且， nannaSnn211a（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和.1na nannS解 21 211111nnnnnnaananaSS令，故只需证是等比数列，1nnab nb，21 1121121 211121 211111 nnnnnnnnnn aaaaaaaa bb 21111 ab数列是以为首项，为公比的等比数列. nb2121即数列是以为首项，为公比的等比数列.1na2121（2），即 .1111 222nnnb 112nna nna211123232311111111222211
6、12211111112222212nnnnnnSaaaannn LLL 例 3 已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且（ na nb1q0ib） ，若，,则的大小关系为 .L,3,2,1i11ba 1111ba66ab与分析 （方法一），1111bbq，所以0ib62 6111111111 622bbbbbbaaa（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（）时是定义在正1q整数集上的指数函数由，知11ba 1111ba两函数有两个交点如图，显然，而且当N 时都有，当66ba 111,nnnnba 时，.11nnnba 五、 要点归纳与方法小结1. 数列中的方程思想：基本量法是通法，要注意运算技巧.2. 数列中的化学与转化思想：将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破点.3. 数列中的函数与数形结合思想：构造函数，用图象辅助，能起到出奇制胜的效果.xy
