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1、数列专题复习数列专题复习 2 2数列中的数学思想数列中的数学思想教学目标:教学目标:1知识与技能:能够灵活运用方程思想、化归与转化思想、函数思想对数列问题进行求解2过程与方法:使学生在已掌握的数列题型求解方法上进一步提高解题水平,明确数列与数学思想的内在联系教学重点:教学重点:掌握数列题型中数学思想方法的应用;教学难点:教学难点:掌握数列题型中数学思想方法的应用教学方法教学方法 :讲练结合、自主探究教学过程:教学过程:一、问题情境问题 1我们以前的学习中接触过哪些数学思想方法?问题 2前一段的数列学习中运用了哪些数学思想方法?二、学生活动1数列中有方程思想、化归与转化思想、函数与数形结合思想2
2、讨论并从习题中找出具体的题目中分别体现哪些思想方法三、建构数学引导学生自己总结出数学中几种思想方法(一)数列中的方程思想:等差数列有两个基本量,等比数列有两个基本量,等差与等比数列的两个da ,1qa ,1基本问题都可以用两个基本量来表示,所以列出关于两个关于基 本量的方程组来nnSa ,求解,这种方法又可称为基本量法(二)数列中的化归与转化思想:我们在处理数学问题时,常常将待解决的问题通过转化,化归成为一类我们比较熟悉问题来解决(三)数列中的函数与数形结合思想:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前项和公式都可以看成的函数,特别nn是等差数列的通项公式可以看成是的一次函数,而其求和公式可以
3、看成是常数项为零的n二次函数,因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析,加以解决四、数学运用例 1 在等比数列中, na如果 .12344060aaaa,那么78aa分析 以等比数列的首项和公比为基本量列方程组求解,适当运用整体思想可使1aq运算简化.解 ,112 23 11403 602aa qqa qa q135)23(40)1 (36 17 16 187qqaqaqaaa变式 已知等比数列中前 8 项的和,前 16 项的和,求. na308S15016S20S解 设的公比为,当时, naq1q415308118aaS, 故.875150161116aaS1q 8 116 11301111
4、5021aqqaqq 得 带入(1)式可得, 218841542qqq 1011 qa. 31011 1154 120 1 20qqa qqaS点评 解题过程中应注意对等比数列中这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需1q要有整体思想,即必须把当成一个整体来解.qa 11例 2 已知数列满足,且, na121nnaa11a(1)证明数列是等比数列; (2)求数列的通项公式.1na na解 (1)令,故只需证是等比数列,1nnab nb,2112 1112 1111nnnnnnnn aa aa aa bb2111 ab数列是以为首项,为公比的等比数列. nb22即数列是以为首项,为公比的等比数列.1
5、na22(2),即,nn nb2221n na21.12 n na变式 已知数列的前项和满足,且, nannaSnn211a(1)证明数列是等比数列;(2)求数列的前项和.1na nannS解 21 211111nnnnnnaananaSS令,故只需证是等比数列,1nnab nb,21 1121121 211121 211111 nnnnnnnnnn aaaaaaaa bb 21111 ab数列是以为首项,为公比的等比数列. nb2121即数列是以为首项,为公比的等比数列.1na2121(2),即 .1111 222nnnb 112nna nna211123232311111111222211
6、12211111112222212nnnnnnSaaaannn LLL 例 3 已知数列是等差数列,数列是等比数列,其公比,且( na nb1q0ib) ,若,,则的大小关系为 .L,3,2,1i11ba 1111ba66ab与分析 (方法一),1111bbq,所以0ib62 6111111111 622bbbbbbaaa(方法二)等差数列是定义在正整数集上的一次函数,等比数列()时是定义在正1q整数集上的指数函数由,知11ba 1111ba两函数有两个交点如图,显然,而且当N 时都有,当66ba 111,nnnnba 时,.11nnnba 五、 要点归纳与方法小结1. 数列中的方程思想:基本量法是通法,要注意运算技巧.2. 数列中的化学与转化思想:将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破点.3. 数列中的函数与数形结合思想:构造函数,用图象辅助,能起到出奇制胜的效果.xy