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1、学案学案 7 函数图像的对称变换函数图像的对称变换一、课前准备：一、课前准备： 【自主梳理自主梳理】1、 （1）函数与的图像关于 对称；()yfx( )yf x（2）函数与的图像关于 对称；( )yf x ( )yf x（3）函数与的图像关于 对称()yfx ( )yf x2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称3、 （1）若对于函数定义域内的任意都有，则( )yf xx()()f axf bx的图像关于直线 对称( )yf x（2）若对于函数定义域内的任意都有，则( )yf xx()2()f axbf ax的图像关于点 对称( )yf x4、对且，函数和函数的图象关于直线 对称0a
2、1a xyalogayx5、要得到的图像，可将的图像在轴下方的部分以 为轴( )yf x( )yf xx翻折到轴上方，其余部分不变x6、要得到的图像，可将，的部分作出，再利用偶函数的()yfx( )yf x0,x图像关于 的对称性，作出时的图像,0x 【自我检测自我检测】1、函数的图象关于 对称3( )2f xx2、在同一坐标系中，函数与的图象关于 对称3logyx1 3logyx3、函数的图象与函数 的图象关于坐标原点对称xye 4、将函数的图象向右平移一个单位得曲线，曲线与曲线关于直线1( )2xf xCCC对称，则的解析式为 yxC5、设函数的定义域为，则函数与的图像的关系为( )yf
3、xR(1)yf x(1)yfx关 于 对称6、若函数对一切实数都有，且方程恰好有四个不同( )f xx(2)(2)f xfx( )0f x 实根，求这些实根之和为 二、课堂活动：二、课堂活动： 【例 1】填空题：（1）对于函数， “的图象关于轴对称”是“是( )yf xxR( )yf xy( )yf x奇函数”的 （2）对于定义在上的函数，有下列命题，其中正确的序号为 R( )f x若函数是奇函数，则的图象关于点对称；若对，有( )f x(1)f x (1,0)AxR，则的图象关于直线对称；若函数的图象(1)(1)f xf x( )yf x1x (1)f x 关于直线对称，则函数是偶函数；函数
4、与函数的1x ( )f x(1)yf x(1)yfx图象关于直线对称1x （3）将曲线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到曲线如果曲线lgyxC与关于原点对称，则曲线所对应的函数式是 CCC（4）当时，已知，分别是方程和解，则的1a 1x2x1xxa log1axx 12xx值为 【例例 2】作出下列函数的图象：（1）；（2）；1 2log ()yx1 2x y （3）；（4）2logyx21yx【例 3】 （1）将函数的图象沿轴向右平移 1 个单位，得图象，图象与1 2logyxxCC关于原点对称，图象与关于直线对称，求对应的函数解析式；CCCyxC（2）已知函数的定义域为，并且
5、满足( )yf xR(2)(2)fxfx证明函数的图象关于直线对称；( )yf x2x 若又是偶函数，且时，,求时的表达( )f x0,2x( )21f xx4,0x ( )f x式三、三、课后作业课后作业1、函数的对称中心是 3(1)1yx2、如果函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则 ( )yf x32yx( )f x 3、设，若要使的图象关于轴对称，则 ( )3x af x( )f xya 4、已知函数图象的一条对称轴方程为，则( )sin2cos2 ()f xaxx aR12xa 5、已知函数，且，则与2( )f xxbxc(0)3f(1)(1)fxfx()xf b的大小关系为 (
6、)xf c6、函数在上单调递减，则实数的范围为 32 1xyx ,aa7、若函数的图象过点，则的图象一定过点 ( )yf x1,1(4)fx8、定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意实数都有R( )f x3,04x且，则3( )()02f xf x( 1)1f (0)2f (0)(1)(2)(2009)ffffL9、设函数2( )sin()2cos1468xxf x（1）求( )f x的最小正周期；（2）若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线1x 对称，求当40, 3x时( )yg x的最大值10、设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移 、个单C3yxxCxyts(0)t
7、位长度后得到曲线1C（1）写出曲线的方程；1C（2）证明曲线与关于点对称；C1C( , )2 2tsA（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：C1C34tst4、纠错分析纠错分析题 号错 题 原 因 分 析 错 题 卡学案学案 7 函数图像的对称变换函数图像的对称变换参考答案参考答案 【自我检测自我检测】1原点 2轴 3 4 5直线 xxye2logyx1x 68【例 1】 （1）必要不充分条件 （2） （3） （4）lg(1)2yx 1【例 2】 （1）作的图象关于轴的对称图形1 2logyxy（2）作的图象关于轴的对称图形1 2x yx（3）作的图象及它关于轴的对称图形2logyxy（4
8、）作的图形，并将轴下方的部分翻折到轴上方 （图略）21yxxx【例 3】 （1）21xy （2）证明：设是函数的图象上任意一点，则00,P xy( )yf x00()yf x点关于直线的对称点的坐标应为P2x P004,xy00000(4)2(2)2(2)()fxfxfxf xy点也在函数的图象上P( )yf x函数的图象关于直线对称( )yf x2x 解析：由，及为偶函数，得，( )21f xx0,2x( )f x( )()21f xfxx ；当时，由图象关于对称，用代入，2,0x 2,4x( )f x2x 4x( )21f xx得，再由为偶函数，(4)( )2 4127fxf xxx 2,
9、4x( )f x得，故( )27f xx4, 2x 27 , 4, 2( )21 , 2,0xxf xxx 课后作业：课后作业：1 2 30 4 1,123x3 35 6 7 80()()xxf bf c, 1 3,19解：（1）( )f x=sincoscossincos46464xxx=33sincos2424xx=3sin()43x 故( )f x的最小正周期为 T = 24 =8(2)在( )yg x的图象上任取一点( , ( )x g x，它关于1x 的对称点(2, ( )x g x 由题设条件，点(2, ( )x g x在( )yf x的图象上，从而 ( )(2)3sin(2)43
10、g xfxx=3sin243x=3cos()43x当304x时，2 3433x，因此( )yg x在区间40, 3上的最大值为max33cos32g10解：（1）曲线的方程为；1C3()()yxtxts（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，C111( ,)B x y222(,)B xy1BA则有，代入曲线的方程，1212,2222xxtyys1212,xtxysy C得的方程：22,xy3 222()()sytxtx即，可知点在曲线上3 222()()yxtxts222(,)B xy1C反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上1CAC因此，曲线与关于点对称C1CA（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，C1C方程组有且仅有一组解，33()()yxxyxtxts消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一y22333()0txt xtts x个根，即得，43912 ()0tt tts 3(44 )0t tts因为，所以0t 34tst
