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1、2 0 1 4 年第 1 、 2 期 福建中学数学 8 5 发散思维有的放矢 从一道模拟题浅谈最值问题转化角度 蔡广军 江苏省盐城中学 ( 2 2 4 0 0 1 ) 近几年来高考试题特别注重考查学生思维能 力 ，其中最值 问题便是一个典 型载体 ，它能有效地 考查学生的思维品质和学习潜能最值问题起源于 函数，贯穿于高中数学的各个知识模块 ，对最值问 题的求解一直以来都是高中数学的重难点问题本 文结合盐城市调研考试的一道模拟题，谈一谈解决 有关最值问题的转化角度 题 目 再现 在等腰A A B C中，A B= A C， 且 l B A + B CJ= 2 4 3，则A A B C面积的最大值为
2、 角度 1函数法 利 用函数 的值域与最值求 解方法解决最值问题是常见办 法，关键是引入恰当的变元，建立适当的目标函数， 同时研究好函数的定义域 思路 1设A B： A C= 2 a， s = = ， s i n ：( 5 a 2-3 2= -9 a 4 +3广0 a2-9， 则 S= 2 a x 2 a s i n A=2 a s i n A L 。9。 。a 。4。+。 。3。 。0。 。a。 。2。 -。9 =一 2 I 一 一l 一 又 I + c I = 2 4 3， 即等腰三角形腰上的中线长为 ， 3 a 3，设t = ， 函数 m=一 9 a + 3 0 a 一9 9 t +3
3、0 t 9的最大值 为 1 6 ， 当 f ： 要 即 口 ： 时 所 以 最 大 值 为 2 思路 2也可以转化为 ， 则 ： 1 2 2 a s i n =2 t2 2 S i n A= 6 s i n A ， 则 S = 3 0 C O S A一 2 4 令 。 ， 解 得 c o s A 詈 ， 则A ( 0 ， O 1 ) 时，S单调递增； A ( ， 7 【 ) 时，S 单调递减 其中c o s = ， 此时s i n 0 = 所 以当 A： 时，S最大值为 2 解法体会由于最终目标函数中保留的变元不 同，函数类型会有差异，常以二次、分式等基本初 等函数为主，偶尔也会遇到非常规函数
4、，我们一般 都可以采用导数法求最值 同时注意函数的定义 域 角度 2解析法 利 用坐标 的方法将问题转化 ，研究 出变化 问题 中的轨迹方程， 从而转化求解 分别以B D所在直线 与线段 B D 的中垂线为 轴与 Y轴建立直角坐标系 x O y ， 如 图1 ， 则 ( 一 半， 0 ) ， D ( ， 0 ) ， 由 _ 2 ， 一 半 )2 + 7 2 = 4 ， 故点 A ( x ， ) 的轨迹为 以( ， 0 ) 为 圆心， 为 半径的圆 ( 除点 ( ， 0 ) ， 【( 3 3 ，0 ) ) ， 故 S 2 肋 2 解法体会 建立坐标系，寻找变化中的不变量， 求出 点的轨迹，发现圆
5、的定义三角形的中线将 三角形的面积平分，迅速得到最值 )l ( 一 Q 图 1 图 2 角度 3不等式法 如图 2 ，分别 以B C，线段 B C的中垂线建立直 角坐标系 ，设 A ( O ， a ) ，C ( b ， 0 ) ，则B ( - b ， 0 ) ， A c边上的中线B D长为 3， 又D ( ， 詈 ) ( 6 ) + (詈 ) = 3 ， = ， 由 基 本 不 等 式 (昙 6 ) + (詈 ) = 3 口 b( 当 且 仅 当 口=3 b时等号成立) ，S最大值为 2 解法体会 定值有时候会很隐蔽，需借助于恰当 8 6 福建中学数学 2 0 1 4 年第 l 、 2 期 的
6、手段 ，如坐标法 ，换元法等转化之后使 用基本不 等式解决最值问题 角度 4几何意义法 从 目标函数的结构中发现几何意义 ，直接使用 几何意义解题 如策略 1中 6 s i n A=一 6 s i nA 4 的最值也可使用点( c o s A ， s i n A ) 与点( ， 0 ) 斜率点 ( C O S A ， s in ) ( ( 0 ， 7c ) ) 在单位圆上半圆上，切线位 置斜率最小为 一 ，S最大值为 2 解法体会 构造动点与定点的连线斜率，利用动 点的轨迹将最值转化为切线 的斜率 ，注意变量 的范 围对轨迹 的影响 角度 5三角法 题干给 出的条件具有 明显的三角与 向量 背
7、景 ， 将向量条件转化成三角形中的条件 ，三角形中常引 入某个角表示 目标 根据向量的平行 四边形法则 ， 知 A C边上的中线 B D长为4 3 ，B C上中线为 A M ， 设 B D与A M 交于 0，可知 D为重心 设 O B M ：0， ，、 BC ：2 BM ：2 BO c os 0：2 c o s 0 AM 3 ：3 0 M ：3 B O s i n 0 ：3 尘 s i n 0 3 则 ： c A M ： 3 x (半) s in 0 C O S 0 j =2 s i n 2 0，0 ( 0 ， ) ， 所以当 0= 时， 最大值为 2 4 解法体会 从条件出发，在条件与条件，
8、条件与 结论的交汇处找解题的突破 口；B O长度就是这样 的 量，引入一个变量角简洁表示出三角形的面积 以上仅是从一道题 目联想到 的一些解法 ，并不 足以说明最值问题的全部解法，最值问题是一个常 见问题 ，它可涉及到函数、数列、不等式、三角 函 数及圆锥 曲线等多方面的知识 ，我们要积极 思考把 问题恰当转化从而便于求解 向量妙解线性规划最值问题 李桂英 福建省龙岩市高级中学 ( 3 6 4 0 0 0 ) 1问题的提 出 随着高中数学课标课程的实施 ，使得许多新 知 识进入了高 中数学教材 ， 同时也进入了高考试题 其 中，线性规划 问题就是这样一种知识 线性规划问 题几乎是每年高考必考的
9、内容，而且其理论和方法 在实际生活中有着广泛的应用因而，线性规划问 题解法 的研究 ，就成为一个重要的课题 2理论基础 平面向量数量积的几何意义： 数量积a b 等于 a的长 度 I a 与 b在 a方 向上 的投 影 l b l C O S 0的乘 积 即a b = l a b l C O S 0， 0 0 ， 兀 平面向量数量积的坐标表示 ：两个向量的数 量积等 于它们对应坐标乘积 的和 即设 a=( x ， Y ， ) ， b： 【 2 ， Y 2 ) ，则 a b =X l X 2 +Y l Y 2 3直击考题 平面向量数量积的几何意义 ，为 我们处理高中 阶段常见的线性规划 问题提供
10、 了一种简捷、直观的 方法 对于 截距型 目标 函数 z =似+ ，可 构造 向量 O M =( a ， b ) ，O N=( X， Y ) ，则 z =a x +b y=O M O N =l 1 1 c o S ， ) 因 为l l 为定 值， 所 以 z 的 最 值 取 决 于 I c o s ( o M， ) 的 最 值 ， 即 向 量 O N在 O M 方向上的投影的最值 3 1约束条件及目标函数均不含参的最值问题 例 1( 2 0 1 3 年高考湖南卷 理 4 )若变量 X ，Y f Y2 x ， 满足约束条件 + Y 1 ， 则 + 2 的最大值是 ( ) I Y 一1， A一 三 B0 C三 D 三 A一二 二 D 二 2 3 2
